AMC 8 · 2025 · #10

학년 5 geometry-2d

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Geometric Area via Inclusion-Exclusion or Area Balance

area-rectanglesspatial-visualizationreflection-symmetry identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

가로 5인치, 세로 3인치 직사각형 ABCD를 변 DC 의 중점 M 을 중심으로 시계 방향 90° 만큼 회전시켜 두 번째 직사각형을 얻습니다. 이때 두 직사각형이 겹쳐서 덮는 영역의 총 넓이(제곱인치)를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

22.25

(C)

(D)

23.75

(E)

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

회전 후 두 직사각형이 어떻게 겹치는지가 핵심이므로 도구 #1(그림 그리기) 로 ABCD 와 중점 M, 그리고 회전된 사본을 직접 스케치하는 것이 가장 빠른 출발입니다. 머릿속 회전이 어렵다면 도구 #10(직접 만져보기) — 5 × 3 종이를 잘라 긴 변의 중점에 핀을 꽂고 시계 방향으로 돌려보면 겹친 부분이 작은 정사각형이라는 사실이 한눈에 보입니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 (i) 직사각형 한 개의 넓이, (ii) 겹친 부분의 모양과 넓이, (iii) 포함-배제 원리로 합산: 전체 = 넓이₁ + 넓이₂ - 겹친 넓이 — 이 세 조각으로 문제를 분해합니다.

1STEP 1

직사각형 ABCD 를 그리고 DC 의 중점 M 을 찍으면 MD = MC = 2.5 인치 입니다.

MD = MC =

\frac{5}{2}

= 2.5 인치

2STEP 2

직사각형 한 개의 넓이는 가로 × 세로, 즉 5 × 3 = 15 제곱인치입니다.

넓이_한 개 = 5 × 3 = 15 in²

3STEP 3

종이 사본을 M 을 중심으로 시계 방향 90° 돌려 보면, 겹친 부분은 한 변이 2.5 인치인 작은 정사각형입니다.

겹친 부분 = 한 변이 2.5 인치인 정사각형

4STEP 4

겹친 부분은 한 변 2.5 인치 정사각형이므로 넓이는 2.5 × 2.5 = 6.25 제곱인치입니다.

겹친 넓이 = 2.5 × 2.5 = 6.25 in²

5STEP 5

포함-배제로 두 넓이를 더하고 겹친 부분을 한 번 빼면 15 + 15 - 6.25 = 23.75 제곱인치입니다.

전체 = 15 + 15 - 6.25 = 30 - 6.25 = 23.75 in² → (D)

정답

23.75

직사각형 한 개의 넓이가 15 in² 이므로, 두 직사각형의 합집합은 반드시 15 보다 크고 2 × 15 = 30 보다 작아야 합니다. 답 23.75 는 그 사이에 자연스럽게 들어가고, 겹친 넓이 6.25 도 2.5 × 5 짜리 "오른쪽 절반" 의 절반인

\frac{1}{2}

× 2.5 × 5 = 6.25 와 일치해 기하 구조와 맞아떨어집니다. 선택지 중 30 - 6.25 가 되는 값은 (D) 뿐입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 소수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 겹친 부분이 한 변 2.5 인치짜리 작은 정사각형인 걸 보기만 하면, 나머지는 15 + 15 - 6.25 계산뿐이거든요!

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