AMC 8 · 1999 · #9

학년 4 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

set-partitioncomplementary-countingmulti-digit-arithmetic identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

세 개의 화단 A, B, C 가 그림처럼 겹쳐 있습니다. 화단 A 에는 식물 500 그루, B 에는 450 그루, C 에는 350 그루가 있습니다. 화단 A 와 B 는 50 그루를 공유하고, A 와 C 는 100 그루를 공유하며, 그림상 B 와 C 는 닿지 않습니다. 식물은 모두 몇 그루일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

850

(B)

1000

(C)

1150

(D)

1300

(E)

1450

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 벤 다이어그램 그리기

주어진 그림 자체가 이미 벤 다이어그램입니다 — A, B, C 영역이 있고 A 가 B 와도 C 와도 겹치지만 B 와 C 는 떨어져 있습니다. 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)로 각 영역에 알맞은 수를 적어 두면, 세 집합 공식을 외우지 않아도 그림에서 바로 총합을 읽어낼 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 4학년 수준의 두 단계로 풀이를 정리해 줍니다: (i) 일단 아무 것도 공유되지 않은 듯이 세 화단의 식물 수를 더하고, (ii) 두 번 세어진 공유 식물을 한 번씩만 빼 줍니다. B 와 C 가 만나지 않으므로 세 화단 공통 영역도 없고, 따라서 "다시 더해 주는" 보정도 필요 없습니다.

1STEP 1

그림은 A만·B만·C만·A∩B·A∩C 다섯 영역뿐이고, B∩C도 세 화단 공통 영역도 없는 벤 다이어그램입니다.

|A| = 500, |B| = 450, |C| = 350, |A∩ B| = 50, |A∩ C| = 100, |B ∩ C| = 0

2STEP 2

공유가 없다 치고 더하면 500 + 450 + 350 = 1300, 이 값은 공유 식물을 두 번 셉니다.

|A| + |B| + |C| = 500 + 450 + 350 = 1300

3STEP 3

두 번 세어진 겹침은 |A∩B| + |A∩C| = 50 + 100 = 150이고, 뺄 B∩C는 없습니다.

공유량 = |A∩ B| + |A∩ C| + |B∩ C| = 50 + 100 + 0 = 150

4STEP 4

부풀린 합에서 겹침을 빼면 1300 - 150 = 1150, 선택지 (C)이고 다시 더할 항은 없습니다.

|A ∪ B ∪ C| = 1300 - 150 = 1150 → (C)

정답

1150

벤 다이어그램의 각 영역을 모두 채워서 다시 더해 봅시다. A 만 = 500 - 50 - 100 = 350, A∩ B = 50, A∩ C = 100, B 만 = 450 - 50 = 400, C 만 = 350 - 100 = 250. 합 = 350 + 50 + 100 + 400 + 250 = 1150 으로 선택지 (C) 와 일치합니다. 크기도 자연스럽습니다: 공유 식물이 있으니 답은 단순 합 1300 보다 작아야 하고, 가장 큰 화단 500 보다는 커야 하므로 1150 만 말이 됩니다.

💡핵심 정리

세 화단을 일단 공유가 없는 것처럼 더한 뒤, 두 번 세어진 공유 식물을 한 번씩만 빼 주면 됩니다 — 1300 - 150 = 1150. 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 벤 다이어그램 문제예요.

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