AMC 8 · 2025 · #22

학년 4 number-theoryalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorsdivisibility-ruleslinear-diophantineequal-spacing systematic-enumerationconvert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: factorsdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

코트걸이 35 개가 한 줄로 놓여 있습니다. 첫 코트 앞, 마지막 코트 뒤, 그리고 이웃한 두 코트 사이의 빈 걸이 개수가 모두 같아지도록 코트를 걸려고 합니다. 코트와 각 빈 걸이 묶음에는 적어도 1 개씩 들어가야 할 때, 가능한 코트 개수는 모두 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"가능한 코트 개수가 몇 가지인지" 묻는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 어울립니다. 코트 개수 c 를 하나씩 정해 보면, 남는 빈 걸이 35 - c 개를 c+1 묶음으로 똑같이 나눠야 하니까, c 마다 "c+1 이 35-c 를 똑 떨어지게 나누는지"만 확인하면 됩니다 — 이게 도구 #6(추측하고 확인하기)의 역할입니다. 그러다 보면 깔끔한 패턴(도구 #5)이 보입니다: 35 - c = 36 - (c+1) 이므로 "c+1 이 35-c 의 약수" 라는 조건은 결국 "c+1 이 36 의 약수" 라는 조건과 같다는 것 — 이 한 줄로 문제 전체가 36 의 약수 찾기로 바뀝니다.

1STEP 1

빈 걸이 35 - c 개를 c+1 묶음으로 나누면 한 묶음 크기는 k = (35 - c)/(c + 1), 1 이상 자연수여야 합니다.

k = (35 - c)/(c + 1), k ≥ 1 인 자연수

2STEP 2

c 를 작은 쪽부터 나열해 (35 - c) ÷ (c + 1) 을 계산. c + (c+1) ≤ 35 이므로 c 는 최대 17 까지.

c = 1, 2, 3, …, 17 을 차례로 시도

3STEP 3

각 c 에서 (35 - c) ÷ (c + 1) 이 자연수면 성공. 성공하는 값은 c = 1, 2, 3, 5, 8, 11, 17.

c=1:

\frac{34}{2}

=17 ✓; c=2:

\frac{33}{3}

=11 ✓; c=3:

\frac{32}{4}

=8 ✓; c=4:

\frac{31}{5}

X; c=5:

\frac{30}{6}

=5 ✓; c=6:

\frac{29}{7}

X; c=7:

\frac{28}{8}

X; c=8:

\frac{27}{9}

=3 ✓; c=9,10: X; c=11:

\frac{24}{12}

=2 ✓; c=12…16: X; c=17:

\frac{18}{18}

=1 ✓

4STEP 4

35 - c = 36 - (c + 1) 이므로 몫은 36/(c+1) - 1. c + 1 이 36 의 약수일 때만 자연수입니다.

(35 - c)/(c + 1) = 36/(c+1) - 1

5STEP 5

c + 1 ∈ {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} 이면 c ∈ {1, 2, 3, 5, 8, 11, 17}, 7 가지 — 선택지 (D).

|{1, 2, 3, 5, 8, 11, 17}| = 7 → (D)

정답

양 끝 값을 직접 그려서 점검해 봅시다. c = 1 일 때 k = 17: "빈 17 + 코트 1 + 빈 17" = 35, 정확히 맞습니다. c = 17 일 때 k = 1: "빈 1 + 코트 1" 패턴을 반복해 1 + 17 · 2 = 35, 역시 맞습니다. 그래서 {1, 2, 3, 5, 8, 11, 17} 은 빠짐도 더함도 없는 정답 집합. 또 답 (D) =7 은 36 의 약수 개수 9 에서 양 끝 (c=0, k=0) 두 경우를 빼서 나오는 9 - 2 = 7 과도 정확히 일치해, 함정인 (E) =9 에 빠지지 않았다는 사실까지 확인됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "36의 약수 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — 중학교 대수 없이도 OK!

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