AMC 10 · 2002 · #15
쉬운 모드 학년 41,2,3,4,5,6,7,9의 숫자가 있습니다. 각 숫자를 딱 한 번씩만 써서 두 자리 소수 4개를 만드세요. (소수는 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수입니다.)
이 소수 4개의 합은 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 숫자 $1,2,3,4,5,6,7,9$ 를 각각 정확히 한 번씩 사용해 두 자리 소수 네 개를 만들고, 그 네 소수의 합을 구하시오.
주어진 것: 사용할 수 있는 여덟 개의 숫자는 $1,2,3,4,5,6,7,9$ 이다 (숫자 $8$ 은 없다); 각 숫자는 정확히 한 번씩 쓰이고, 여덟 개의 숫자가 두 자리 수 네 개를 채운다; 네 개의 두 자리 수는 모두 소수여야 한다; 선택지: (A) $150$, (B) $160$, (C) $170$, (D) $180$, (E) $190$
구하는 것: 네 개의 두 자리 소수의 합
이해
문제 재정리: 숫자 $1,2,3,4,5,6,7,9$ 를 각각 정확히 한 번씩 사용해 두 자리 소수 네 개를 만들고, 그 네 소수의 합을 구하시오.
주어진 것: 사용할 수 있는 여덟 개의 숫자는 $1,2,3,4,5,6,7,9$ 이다 (숫자 $8$ 은 없다); 각 숫자는 정확히 한 번씩 쓰이고, 여덟 개의 숫자가 두 자리 수 네 개를 채운다; 네 개의 두 자리 수는 모두 소수여야 한다; 선택지: (A) $150$, (B) $160$, (C) $170$, (D) $180$, (E) $190$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #3 가능성 지우기, #7 작은 문제로 쪼개기
실제 소수 네 개를 찾아 헤매고 싶어지지만, 그것은 느리고 필요하지도 않다. 도구 #16 (관점 바꾸기) 은 문제가 진짜 무엇을 묻는지 보라고 한다: 오직 합이며, 두 자리 수 네 개의 합은 $10\times(\text{십의 자리 숫자들의 합}) + (\text{일의 자리 숫자들의 합})$ 이다. 그래서 어떤 네 숫자가 일의 자리에 오는지만 알면 합은 정해진다. 그 숫자들을 찾기 위해 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 소수의 끝자리가 될 수 없는 숫자를 지운다: 두 자리 소수는 짝수도 아니고 $5$ 로 끝나지도 않는다. 이렇게 하면 여덟 숫자가 십의 자리 무리와 일의 자리 무리로 갈린다. 그다음 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 쉬운 두 개의 부분 합을 더해 마무리한다.
실행 — 정답: E
4.OA.B.4 단계 1 어떤 숫자가 소수의 끝에 올 수 있나
- 두 자리 소수는 $10$ 보다 크므로 인수로 $2$ 도 $5$ 도 갖지 않는다.
- 일의 자리가 짝수이면 $2$ 로 나누어떨어지고, 일의 자리가 $0$ 또는 $5$ 이면 $5$ 로 나누어떨어진다.
- 따라서 소수의 일의 자리는 홀수이면서 $5$ 가 아니어야 한다.
- $1,2,3,4,5,6,7,9$ 중에서 $2,4,6$ (짝수) 과 $5$ 가 제외된다.
- 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 $1,3,7,9$ 뿐이다.
💡 짝수나 $5$ 로 끝나는 두 자리 수는 이미 $2$ 또는 $5$ 를 인수로 가지므로 결코 소수가 될 수 없다.
1.NBT.B.2 단계 2 십의 자리 무리와 일의 자리 무리를 확정
- 소수 네 개는 일의 자리 숫자 네 개가 필요한데, 거기에 올 수 있는 것은 $1,3,7,9$ 뿐이고 이것이 정확히 네 개다.
- 따라서 네 개 모두 일의 자리로 쓰인다.
- 남은 숫자 $2,4,5,6$ 은 갈 곳이 없으므로 모두 십의 자리 숫자가 되어야 한다.
- 이제 자릿값을 쓰자: 모든 두 자리 수는 $10\times(\text{십의 자리 숫자}) + (\text{일의 자리 숫자})$ 이다.
- 네 소수를 더하면, 짝을 어떻게 짓든 십의 자리 숫자는 각각 $10$ 배가 되고 일의 자리 숫자는 그대로 더해진다.
💡 일의 자리 네 칸에 올 수 있는 숫자가 정확히 네 개뿐이라, 나머지 네 숫자는 십의 자리 칸으로 밀려나고 자릿값이 합을 미리 확정한다.
4.NBT.B.5 단계 3 두 자릿값 무리를 더하기
- 합을 십의 자리 부분과 일의 자리 부분으로 나눈다.
- 십의 자리 숫자의 합은 $2+4+5+6=17$ 이고, 각각 $10$ 씩 세므로 $10\times 17 = 170$ 이다.
- 일의 자리 숫자의 합은 $1+3+7+9=20$ 이다.
- 전체 합 $= 170 + 20 = 190$.
- 이는 선택지 (E) 와 일치한다.
💡 십의 자리끼리, 일의 자리끼리 모으면 네 개의 두 자리 덧셈이 한 번의 십 배 곱하기와 한 번의 작은 덧셈으로 바뀐다.
4.OA.B.4 두 자리 소수는 $10$ 보다 크므로 인수로 $2$ 도 $5$ 도 갖지 않는다. 일의 자리가 짝수이면 $2$ 로 나누어떨어지고, 일의 자리가 $ 1.NBT.B.2 소수 네 개는 일의 자리 숫자 네 개가 필요한데, 거기에 올 수 있는 것은 $1,3,7,9$ 뿐이고 이것이 정확히 네 개다. 따라서 네 개 모두 4.NBT.B.5 합을 십의 자리 부분과 일의 자리 부분으로 나눈다. 십의 자리 숫자의 합은 $2+4+5+6=17$ 이고, 각각 $10$ 씩 세므로 $10\tim 검토
합리성 확인: 이 풀이는 소수를 하나도 실제로 만들지 않았으므로, 유효한 조합이 정말 존재하는지 확인하자: $23,\ 41,\ 59,\ 67$ 은 모두 소수이며 숫자 $2,3,4,1,5,9,6,7$ 을 각각 한 번씩 쓴다. 그 합은 $23+41+59+67 = 190$ 으로 (E) 와 일치한다. 크기 점검도 맞는다: $10$ 과 $99$ 사이의 두 자리 수 네 개는 평균 약 $47.5$ 이므로 합은 $4\times 47.5 = 190$ 근처가 되어야 하고, 정확히 그 자리다. 오답 $150$–$180$ 은 숫자를 잘못 배치할 때 (예를 들어 $5$ 나 $6$ 을 일의 자리에 넣을 때) 나오는데, 소수 규칙이 그것을 금지한다.
대안 접근: 직접 만들기 (도구 #6, 추측하고 확인하기): $1,3,7,9$ 를 일의 자리에 두고 십의 자리 숫자 $2,4,5,6$ 을 짝지어 네 수 모두 소수가 되게 한다, 예를 들어 $23, 41, 59, 67$. 그다음 곧바로 더한다: $23+41=64$, $64+59=123$, $123+67=190$. 같은 답 (E) 이지만, 실제 소수를 굳이 찾아내므로 자릿값 지름길보다 훨씬 일이 많다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (두 자리 수를 짝수나 $5$ 의 배수로 만드는 숫자를 제외하여, $1,3,7,9$ 만 소수의 일의 자리 숫자가 될 수 있게 한다.)1.NBT.B.2Understand that the two digits of a two-digit number represent tens and ones (각 소수를 $10\times(\text{십의 자리 숫자}) + (\text{일의 자리 숫자})$ 로 써서, 합이 어떤 숫자가 십의 자리이고 어떤 숫자가 일의 자리인지에만 달리게 한다.)4.NBT.B.5Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (십의 자리 부분 $10\times 17 = 170$ 을 계산하고 일의 자리 부분 $20$ 을 더해 $190$ 을 얻는다.)
⭐ 소수를 찾을 필요가 전혀 없다: 짝수와 $5$ 는 소수의 끝에 올 수 없으니 $1,3,7,9$ 가 일의 자리, $2,4,5,6$ 이 십의 자리이고, 합은 $10\times 17 + 20 = 190$ 이다.
⭐ 소수를 찾을 필요가 전혀 없다: 짝수와 $5$ 는 소수의 끝에 올 수 없으니 $1,3,7,9$ 가 일의 자리, $2,4,5,6$ 이 십의 자리이고, 합은 $10\times 17 + 20 = 190$ 이다.
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