AMC 10 · 2003 · #24

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

divisibility-ruleslogical-deductionfactors caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Sally는 1부터 5까지 번호가 매겨진 빨강 카드 다섯 장과 3부터 6까지 번호가 매겨진 파랑 카드 네 장을 가지고 있다. 아홉 장을 한 더미로 쌓되 색이 번갈아 오도록, 그리고 각 빨강 카드의 숫자가 자기에 닿는 파랑 카드의 숫자를 모두 나누어떨어지게 한다. 한가운데 있는 세 카드의 숫자의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

카드 순서가 너무 많아 하나씩 시도할 수 없으므로, 나누어떨어짐 규칙으로 선택지를 지워 나가 단 하나의 더미만 남기는 것이 똑똑한 방법이다. 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 파랑 카드를 어떤 빨강 카드가 나누는지 정확히 적어, 막연한 규칙을 작은 표로 바꾼다. 그다음 도구 #14(극단의 원리)로 가장 까다로운 카드를 찾는다: 파랑 한 장만 나누는 두 빨강은 유연하게 갈 곳이 없어 양 끝에 못 박힌다. 거기서부터 도구 #3(가능성 지우기)이 강제된 선택을 하나씩 이어 모든 자리를 채운다. 도구 #1(그림 그리기)은 아홉 자리를 눈앞에 두어 한가운데 세 장을 볼 수 있게 한다.

1STEP 1

각 파랑을 나누는 빨강 나열하기

색이 번갈아야 하므로 빨강이 양 끝을 차지하고 파랑은 두 빨강 사이에 놓인다. 각 파랑을 나누는 빨강을 적어 두자.

3:{1,3}, 4:{1,2,4}, 5:{1,5}, 6:{1,2,3}

2STEP 2

가장 까다로운 빨강을 끝에 못 박기

빨강 5는 파랑 5만, 빨강 4는 파랑 4만 나누는데 안쪽 빨강은 파랑 둘을 나눠야 하므로 4와 5는 양 끝으로 밀린다.

5 ∣ 5만, 4 ∣ 4만 → 빨강 4,5는 양 끝

3STEP 3

강제된 이웃을 안쪽으로 이어 가기

이어서 파랑 5는 빨강 1을, 파랑 4는 빨강 2를 강제하고 빨강 3이 한가운데에 놓인다: 5,5,1,3,3,6,2,4,4.

5, 5, 1, 3, 3, 6, 2, 4, 4

4STEP 4

한가운데 세 카드 더하기

네 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 카드는 파랑 3, 빨강 3, 파랑 6이므로 가운데 합은 12이고 답은 (E)이다.

3+3+6=12 → (E)

정답

완성된 더미 5,5,1,3,3,6,2,4,4를 읽고 맞닿은 모든 짝을 확인하자: 5 ∣ 5, 1 ∣ 5, 1 ∣ 3, 3 ∣ 3, 3 ∣ 6, 2 ∣ 6, 2 ∣ 4, 4 ∣ 4 — 여덟 번의 나눗셈이 모두 나누어떨어지고 색도 끝까지 번갈아 온다. 모든 단계가 강제되었으므로 이것이 유일하게 성립하는 더미이고, 따라서 한가운데 합 12는 여러 후보 중 하나가 아니라 곧 답이며 선택지 (E)와 일치한다.

💡핵심 정리

한 곳에만 맞는 조각을 찾아 먼저 못 박아 두면, 강제된 선택 하나하나가 다음을 가리켜 결국 퍼즐이 스스로 풀린다.

각 파랑을 나누는 빨강 나열하기
가장 까다로운 빨강을 끝에 못 박기
강제된 이웃을 안쪽으로 이어 가기
한가운데 세 카드 더하기

각 파랑을 나누는 빨강 나열하기

가장 까다로운 빨강을 끝에 못 박기

강제된 이웃을 안쪽으로 이어 가기

한가운데 세 카드 더하기

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