경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2000 · #20
학년 4 arithmeticnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
먼저 "각 종류 한 개씩" 조건을 만족시키려고 네 종류에서 한 개씩 빼 놓습니다. 그러면 41¢ 와 4 개의 동전이 미리 정해지고, 남은 5 개로 61¢ 를 더 만들면 됩니다. 도구 #8 (단위 살펴보기)가 핵심 제약을 줍니다 — 5센트·10센트·25센트는 모두 5의 배수라서, 1 센트 동전 (추가 페니)의 개수가 남은 금액을 5의 배수로 맞춰 줘야 합니다. 도구 #3 (가능성 지우기)으로 페니 개수의 모든 경우를 따져 가능한 것 하나만 남깁니다. 그 다음 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 추가 10센트 개수 d = 0,1,2,3,4를 차례로 시험해 봅니다. 방정식 없이 약수·배수와 짧은 정리만으로 끝납니다.
동전 하나씩 빼 두기
각 종류 한 개씩 먼저 빼면 4 개로 41¢ 가 정해지고, 남은 5 개로 102-41=61¢ 를 만들면 됩니다.
"적어도 한 개" 조건을 먼저 처리하면 네 변수 문제가 최솟값 조건 없는 더 작은 문제로 바뀝니다.
4.MD.A.2Eliminate Possibilities남은 1센트 개수 정하기
5센트·10센트·25센트는 모두 5의 배수라, 끝자리 때문에 추가 페니는 딱 1 개 (6 개는 5 자리에 안 들어감).
끝자리 (1의 자리)만 봐도 다른 동전은 건드리지 않고 페니 개수가 정해집니다.
각 종류의 동전을 하나씩 빼놓은 뒤, 남은 다섯 개의 동전 중 정확히 하나가 페니여야 한다.
▸ 왜?
남은 다섯 개의 동전은 모두 합쳐 61센트이고, 이 합은 페니의 값(하나에 1센트)과 니켈·다임·쿼터의 값을 더한 것인데, 니켈·다임·쿼터만으로는 언제나 5센트의 배수가 된다.
▸ 왜?
니켈, 다임, 쿼터는 각각 5, 10, 25센트로 모두 5의 정수배이므로, 이들을 아무리 모아도 그 합은 5 곱하기 어떤 정수, 즉 5의 배수가 된다.
▸ 왜?
61센트는 빈틈도 겹침도 없이 페니의 몫과 나머지 동전의 몫으로 나뉘므로, 두 몫을 다시 더하면 전체 61센트가 된다.
▸ 왜?
나머지 동전이 5센트의 배수를 채우므로 페니가 61센트의 나머지를 채워야 하는데, 동전이 다섯 개뿐이라 그 나머지는 1센트일 수밖에 없다.
▸ 왜?
61에서 나머지 동전의 5의 배수 값을 빼면 페니의 값이 남으므로, 페니 개수는 61에서 어떤 5의 배수를 뺀 값과 같다.
▸ 왜?
5의 배수는 5씩 떨어져 있으므로(..., 55, 60, 65, ...), 페니 개수가 0에서 5 사이가 되도록 61에 충분히 가까운 배수는 60뿐이고, 이는 정확히 페니 하나를 남긴다.
남은 금액 정리하기
그 페니를 놓으면 남은 4 개로 60¢ 를 만들고, 이제 후보는 5센트·10센트·25센트뿐입니다.
페니가 정리되고 나면 남은 동전은 모두 5의 배수 값이라, 이제부터는 작은 표 위에서의 단순 시도뿐입니다.
4.MD.A.2Eliminate Possibilities10센트 개수로 경우 나누기
추가 10센트 d=0~4를 확인하면 d=0 만 성립 — 25센트 2 개, 5센트 2 개. 나머지는 60¢ 를 못 맞춥니다.
다섯 가지 작은 경우, 각각 한 번의 확인이면 끝 — 빠짐없이 나열하기 도구가 빛나는 상황입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List처음 10센트 다시 더하기
빼 뒀던 10센트를 더하면 페니 2, 5센트 3, 10센트 1, 25센트 3 — 9 개, 102¢. 10센트는 1 개.
맨 처음에 빼 놓았던 10센트를 다시 더하는 걸 잊지 마세요 — 답 1은 그 첫 한 개에서 나옵니다.
4.MD.A.2Eliminate Possibilities먼저 각 종류 한 개씩 빼서 "적어도 한 개" 조건을 처리합니다. 남은 61¢ 의 끝자리가 1 이므로 그 "1" 은 페니만 만들 수 있고, 남은 동전이 5 개뿐이라 추가 페니는 딱 1 개. 그 뒤 10센트 개수 0부터 4까지 짧게 확인해 보면 성립하는 경우는 단 하나 — 10센트는 총 1 개, 답은 (A).
- 동전 하나씩 빼 두기
- 남은 1센트 개수 정하기
- 남은 금액 정리하기
- 10센트 개수로 경우 나누기
- 처음 10센트 다시 더하기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.
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