AMC 10 · 2002 · #6

쉬운 모드 학년 5

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문제

신디는 어떤 수에서 $3$ 을 뺀 다음, 그 결과를 $9$ 로 나누어야 했습니다.

그런데 신디는 순서를 잘못했습니다. 먼저 $9$ 를 뺀 다음, 그 결과를 $3$ 으로 나누었습니다. 이렇게 했더니 답이 $43$ 이 나왔습니다.

만약 신디가 제대로 계산했다면 답은 얼마였을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

138

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 올바른 지시는 이렇습니다: 어떤 수에서 3을 빼고, 그 결과를 9로 나눈다. 그런데 신디는 잘못된 연산을 했습니다 — 9를 빼고 3으로 나눈 것 — 그래서 43이 나왔습니다. 신디가 올바른 지시를 따랐다면 얻었을 값을 구하세요.

주어진 것: 올바른 절차: 그 수에서 3을 뺀 다음, 9로 나눈다; 신디의 잘못된 절차: 그 수에서 9를 뺀 다음, 3으로 나눈다; 신디의 잘못된 절차의 결과는 $43$; 두 절차 모두 같은 원래 수에서 시작한다; 선택지: (A) $15$, (B) $34$, (C) $43$, (D) $51$, (E) $138$

구하는 것: 원래 수에 올바른 절차를 적용했을 때의 결과

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

올바른 답은 숨겨진 원래 수에 달려 있습니다 — 하지만 우리는 신디의 잘못된 절차의 끝(결과 $43$)을 알고 있습니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)이 바로 이런 상황을 위한 것입니다: 그녀의 두 연산을 반대 연산으로 하나씩 되돌려서 시작하는 수를 되찾습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 두 단계로 깔끔하게 나눕니다: 먼저 수를 되찾고, 그 수를 올바른 절차에 넣습니다. 흔한 함정은 $138$(선택지 E)이라고 답하는 것인데, 이는 원래 수일 뿐 문제가 실제로 묻는 고쳐진 결과가 아닙니다.

실행 — 정답: A

#11 거꾸로 풀기 4.OA.A.3 단계 1

원래 수 되찾기

신디는 그 수에서 9를 빼고, 3으로 나누어 43을 얻었습니다.
수를 찾으려면 이 단계들을 반대 순서로, 반대 연산을 써서 되돌립니다.
마지막에 한 것은 3으로 나눈 것이므로, 곱하기로 되돌립니다: $43 \times 3 = 129$.
그 전에 9를 뺐으므로, 더하기로 되돌립니다: $129 + 9 = 138$.
원래 수는 $138$입니다.

$$43 \times 3 = 129,\quad 129 + 9 = 138$$

💡 연산의 사슬을 반대 연산으로 거꾸로 되돌리면 정확히 출발점에 도착합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.6 단계 2

올바른 절차 적용하기

이제 $138$을 신디가 따랐어야 할 지시에 넣습니다: 먼저 3을 빼면 $138 - 3 = 135$, 그다음 9로 나누면 $135 \div 9 = 15$.
따라서 올바른 답은 $15$입니다.

$$138 - 3 = 135,\quad 135 \div 9 = 15$$

💡 시작하는 수를 알고 나면, 올바른 결과는 올바른 두 연산을 순서대로 하기만 하면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

선택지에 맞추기

올바른 결과는 $15$이고, 이는 선택지 (A)입니다.
$138$은 되찾은 수에서 멈추는 사람을 잡으려고 선택지 (E)에 있고, $43$은 신디의 잘못된 결과를 답하는 사람을 잡으려고 선택지 (C)에 있음에 유의하세요.

$$15 = \textbf{(A)}$$

💡 문제는 원래 수나 잘못된 답이 아니라, 고쳐진 답을 묻고 있습니다.

[1] #11 4.OA.A.3 신디는 그 수에서 9를 빼고, 3으로 나누어 43을 얻었습니다. 수를 찾으려면 이 단계들을 반대 순서로, 반대 연산을 써서 되돌립니다. 마지막에

[2] #7 5.NBT.B.6 이제 $138$을 신디가 따랐어야 할 지시에 넣습니다: 먼저 3을 빼면 $138 - 3 = 135$, 그다음 9로 나누면 $135 \div 9

[3] #7 4.OA.A.3 올바른 결과는 $15$이고, 이는 선택지 (A)입니다. $138$은 되찾은 수에서 멈추는 사람을 잡으려고 선택지 (E)에 있고, $43$은 신디

검토

합리성 확인: 되찾은 수를 신디의 잘못된 단계로 앞으로 확인해 봅니다: $138 - 9 = 129$, 그리고 $129 \div 3 = 43$ — 그녀가 말한 결과와 정확히 일치하므로 $138$이 맞습니다. 그다음 올바른 단계는 $(138 - 3) \div 9 = 135 \div 9 = 15$를 주고, $135$는 $9$로 딱 나누어떨어지며, 깔끔한 자연수 계산이 그래야 하는 대로입니다. 고쳐진 답 $15$는 잘못된 답 $43$보다 훨씬 작은데, 이는 타당합니다: 올바른 절차는 더 작은 $3$ 대신 더 큰 $9$로 나누기 때문입니다.

대안 접근: 대수(도구 #13)를 사용합니다. 수를 $x$라 하면, 신디의 잘못된 절차는 $\frac{x-9}{3} = 43$이므로 $x - 9 = 129$, $x = 138$. 이를 올바른 절차에 대입하면 $\frac{138-3}{9} = \frac{135}{9} = 15$, 역시 선택지 (A)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (신디의 두 단계 절차를 반대 연산으로 되돌려 수 $138$을 되찾고, 문제가 실제로 묻는 값이 무엇인지 해석하기.)
5.NBT.B.6 Find whole-number quotients with up to four-digit dividends and two-digit divisors ($138$에 올바른 절차를 수행하기: 3을 빼고 $135 \div 9 = 15$로 나누기.)

⭐ 결과를 알고 있을 때는 각 단계를 반대 연산으로 되돌려 시작점으로 가라 — 그런 다음 문제를 다시 읽어 진짜로 묻는 것을 답하라.