AMC 10 · 2002 · #3

쉬운 모드 학년 4

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문제

여기 아홉 개의 수가 있습니다: $9$ , $99$ , $999$ 처럼 앞의 수보다 $9$ 가 하나씩 더 많아지고, 마지막 수는 $9$ 가 아홉 개인 $999999999$ 입니다.

이 아홉 개의 수를 모두 더한 다음, 그 합을 $9$ 로 나누어 봅시다. 그러면 아홉 자리 수 $M$ 이 나오고, $M$ 의 각 자리 숫자는 모두 서로 다릅니다.

아래 숫자 중에서 $M$ 에 들어 있지 않은 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ 2$

(C)

$\ 4$

(D)

$\ 6$

(E)

$\ 8$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 집합 $\{9, 99, 999, 9999, \ldots, 999999999\}$ 에는 아홉 개의 수가 있고, $k$ 번째 수는 $9$ 가 $k$ 개 이어진 수입니다. 이 아홉 수의 산술평균 $M$ 은 각 자리 숫자가 모두 다른 아홉 자리 수가 됩니다. 숫자 $0, 2, 4, 6, 8$ 중에서 $M$ 에 나타나지 않는 것을 고르세요.

주어진 것: 아홉 개의 수: $9$, $99$, $999$, … , $999999999$ (9가 아홉 개); $k$ 번째 수는 $9$ 가 정확히 $k$ 개 이어진 수; $M$ 은 이들의 산술평균: 아홉 수를 모두 더한 뒤 $9$ 로 나눔; $M$ 은 아홉 자리 수이고 각 자리 숫자가 모두 다름; 빠진 숫자에 대한 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $8$

구하는 것: $\{0,2,4,6,8\}$ 중 $M$ 에 한 번도 나타나지 않는 하나의 숫자

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

큰 수 아홉 개를 더하고 $9$ 로 긴 나눗셈을 하는 것은 느리고 실수하기 쉽습니다. 대신 도구 #5(패턴 찾기)로 공통 구조를 알아챕니다: 모든 수가 $9$ 의 나열이므로 각 수는 $1$ 의 나열의 $9$ 배입니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눕니다 — $9$ 를 밖으로 빼내 $9$ 로 나누는 것과 서로 지우고, 남은 $1$ 의 나열들을 세로 자리별로 더합니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 어떤 숫자가 빠졌는지 읽습니다. 다섯 선택지 중 넷은 실제로 $M$ 에 나타나기 때문입니다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

집합의 패턴 읽기

집합의 각 수는 $9$ 가 이어진 것일 뿐이고, 그 개수가 하나씩 늘어납니다: $9$ 는 9가 한 개, $99$ 는 두 개, $999$ 는 세 개, … $999999999$ 는 아홉 개입니다.
그래서 수는 정확히 아홉 개이고, $k$ 번째 수는 $9$ 가 $k$ 개 이어진 것입니다.
이 규칙을 기억하는 것이 지름길을 여는 열쇠입니다.

$$\underbrace{9}_{1},\ \underbrace{99}_{2},\ \underbrace{999}_{3},\ \ldots,\ \underbrace{999999999}_{9}$$

💡 같은 숫자가 늘어나는 나열임을 알아채면 지저분한 목록이 하나의 깔끔한 규칙으로 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 2

9의 나열을 다시 쓰기

$9$ 의 나열은 대응하는 $1$ 의 나열의 $9$ 배입니다: $9 = 9\times 1$, $99 = 9\times 11$, $999 = 9\times 111$, 일반적으로 $9$ 가 $k$ 개인 덩어리는 $9\times(1\text{ 이 }k\text{ 개인 덩어리})$ 입니다.
이는 자릿값 그대로입니다 — $111\times 9 = 999$ 를 거꾸로 읽은 것입니다.

$$9=9\cdot1,\quad 99=9\cdot11,\quad 999=9\cdot111,\ \ldots,\ 999999999=9\cdot111111111$$

💡 9의 덩어리는 같은 1의 덩어리를 정확히 아홉 번 겹친 것입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.B.5 단계 3

9를 빼내어 서로 지우기

모든 항이 $9$ 라는 인수를 가지므로 합 전체에서 $9$ 를 밖으로 빼냅니다.
평균은 그 합을 $9$ 로 나누므로, 빼낸 $9$ 가 $9$ 로 나누는 것을 완전히 지웁니다.
남는 것은 $1$ 의 나열들의 합뿐입니다 — 큰 곱셈이나 긴 나눗셈이 필요 없습니다.

$$M=\dfrac{9\cdot 1+9\cdot 11+\cdots+9\cdot 111111111}{9}=\dfrac{9\,(1+11+\cdots+111111111)}{9}=1+11+\cdots+111111111$$

💡 공통 인수 $9$ 를 빼내면 그것이 $9$ 로 나누는 것을 지워, 어려운 계산이 사라집니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.4 단계 4

1의 나열을 자리별로 더하기

아홉 개의 수 $1, 11, 111, \ldots, 111111111$ 을 세로로 쌓고 각 자리를 아래로 더합니다.
일의 자리는 아홉 수 모두에 $1$ 이 있어 $9$ 입니다.
십의 자리는 그중 여덟 개에 $1$ 이 있어 $8$ 입니다.
백의 자리는 $7$, 이런 식으로 맨 왼쪽 자리까지 가면 $1$ 하나만 남습니다.
어떤 자리도 $10$ 에 이르지 않으므로 받아올림이 없고, 자리별 합은 왼쪽부터 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 로 읽힙니다: $M=123456789$.
각 자리 숫자가 $1$ 부터 $9$ 까지 모두 다르므로, 한 번도 나오지 않는 숫자는 $0$ 입니다.
이것이 선택지 (A)이며, $2$, $4$, $6$, $8$ 은 모두 나타나므로 (B), (C), (D), (E)는 지워집니다.

$$1+11+111+\cdots+111111111=123456789 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}\ 0$$

💡 각 자리는 그 자리까지 닿을 만큼 긴 수가 몇 개인지를 셀 뿐이라, 합이 $9,8,7,\ldots,1$ 로 줄지어 갑니다.

[1] #5 4.OA.C.5 집합의 각 수는 $9$ 가 이어진 것일 뿐이고, 그 개수가 하나씩 늘어납니다: $9$ 는 9가 한 개, $99$ 는 두 개, $999$ 는 세

[2] #7 4.NBT.B.5 $9$ 의 나열은 대응하는 $1$ 의 나열의 $9$ 배입니다: $9 = 9\times 1$, $99 = 9\times 11$, $999 = 9\

[3] #7 3.OA.B.5 모든 항이 $9$ 라는 인수를 가지므로 합 전체에서 $9$ 를 밖으로 빼냅니다. 평균은 그 합을 $9$ 로 나누므로, 빼낸 $9$ 가 $9$ 로

[4] #5 4.NBT.B.4 아홉 개의 수 $1, 11, 111, \ldots, 111111111$ 을 세로로 쌓고 각 자리를 아래로 더합니다. 일의 자리는 아홉 수 모두에

검토

합리성 확인: 크기를 확인해 봅니다: 가장 큰 수가 10억보다 작으므로 평균도 10억보다 작아 아홉 자리 답과 맞습니다. 직접 확인해도 지름길이 옳음을 알 수 있습니다 — 그냥 더한 합 $9+99+\cdots+999999999 = 1111111101$ 이고, $1111111101\div 9 = 123456789$ 로 세로 덧셈이 준 값과 같습니다. $M=123456789$ 는 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 를 모두 지나가므로 $0$ 을 뺀 모든 숫자가 들어 있어, 빠진 것은 $0$ 이고 다른 선택지는 모두 지워집니다.

대안 접근: 각 수를 $10^k-1$ 로 씁니다: $9=10^1-1$, $99=10^2-1$, … , $999999999=10^9-1$. 합은 $(10^1+10^2+\cdots+10^9)-9 = 1111111110-9 = 1111111101$ 이고, $9$ 로 나누면 $123456789$ — $1$ 의 나열 대신 $10$ 의 거듭제곱으로 같은 답에 이릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴을 만든다 (집합의 $k$ 번째 수가 $9$ 가 정확히 $k$ 개 이어진 수임을 알아채는 데 사용.)
4.NBT.B.5 네 자리 이하의 수에 한 자리 수를 곱한다 (9의 나열을 각각 $9$ 곱하기 대응하는 1의 나열로 다시 쓰는 데 사용 (예: $999=9\times111$).)
3.OA.B.5 연산의 성질을 곱셈과 나눗셈 전략으로 적용한다 (합에서 공통 인수 $9$ 를 빼내어 평균의 $9$ 로 나누는 것과 서로 지우는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수를 능숙하게 더하고 뺀다 ($1+11+\cdots+111111111$ 을 자리별로 더해 받아올림 없이 $M=123456789$ 에 이르는 데 사용.)

⭐ 9의 줄은 곧 1의 줄의 아홉 배라서, 9를 빼내면 9로 나누는 것이 지워지고 답 123456789가 어려운 계산 없이 툭 떨어집니다.