AMC 10 · 2003 · #16

쉬운 모드 학년 4

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문제

$13$ 을 $2003$ 번 곱해서 아주 큰 수 하나를 만들어요. 그 수 전체는 필요 없고, 마지막 숫자, 즉 일의 자리 숫자만 알면 돼요. 그 마지막 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $13^{2003}$의 일의 자리 숫자를 구하라 — 즉 $13$을 $2003$번 곱했을 때 마지막에 보이는 한 자리 숫자다.

주어진 것: 밑은 $13$이고 지수는 $2003$이다.; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$.

구하는 것: $13^{2003}$의 일의 자리 숫자.

이해

문제 재정리: $13^{2003}$의 일의 자리 숫자를 구하라 — 즉 $13$을 $2003$번 곱했을 때 마지막에 보이는 한 자리 숫자다.

주어진 것: 밑은 $13$이고 지수는 $2003$이다.; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

$13^{2003}$을 손으로 계산하는 것은 불가능하므로, 중요한 한 조각인 일의 자리 숫자만 따라간다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 첫 단계를 자른다: 곱셈에서 곱의 일의 자리 숫자는 곱하는 수들의 일의 자리 숫자에만 달려 있으므로, $13^{2003}$은 $3^{2003}$과 같은 일의 자리 숫자를 가진다. 그러면 $13$이 훨씬 작은 $3$으로 바뀐다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 거대한 지수를 다룬다: $3^1, 3^2, 3^3, \dots$의 일의 자리 숫자는 짧은 주기로 반복되므로, $2003$번 곱하는 대신 $2003$이 그 주기의 어디에 놓이는지만 찾으면 된다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 결과가 선택지 중 하나임을 확인한다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 1

밑의 일의 자리 숫자만 중요하다

두 수를 곱할 때 곱의 일의 자리 숫자는 두 수의 일의 자리 숫자만으로 결정된다 — 십의 자리, 백의 자리, 그 위의 자리들은 결코 일의 자리에 닿지 않는다.
그래서 $13$을 곱할 때마다 새로운 일의 자리 숫자는 $13$의 $3$에만 좌우된다.
즉 $13^{2003}$은 $3^{2003}$과 같은 숫자로 끝나므로, $10$은 버려도 된다.

$$13^{2003}\text{의 일의 자리} = 3^{2003}\text{의 일의 자리}$$

💡 곱의 일의 자리는 언제나 곱하는 수들의 일의 자리에서만 나오므로, $13$의 $1$은 쓸모없는 짐이다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

3의 거듭제곱의 일의 자리 나열하기

$3$의 처음 몇 거듭제곱의 일의 자리를 계산해 보자: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$(일의 자리 $7$), $3^4 = 81$(일의 자리 $1$), $3^5 = 243$(다시 일의 자리 $3$).
일의 자리 숫자는 $3, 9, 7, 1$로 흐르다가 다시 $3$에서 시작한다.
즉 패턴은 길이 $4$의 덩어리로 반복된다.

$$3,\; 9,\; 7,\; 1,\; \underbrace{3,\; 9,\; 7,\; 1}_{\text{반복}},\; \dots$$

💡 $3$을 계속 곱하면 일의 자리 숫자는 같은 네 값을 영원히 돈다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 3

길이 4 주기에서 2003의 위치 찾기

주기의 길이가 $4$이므로 $3^n$의 일의 자리 숫자는 $n$이 네 개짜리 덩어리 안에서 어디에 놓이는지에만 달려 있다: 나머지 $1$이면 $3$, 나머지 $2$이면 $9$, 나머지 $3$이면 $7$, 나머지 $0$($4$의 배수)이면 $1$이다.
지수를 $4$로 나누자: $2003 = 4 \times 500 + 3$이므로 나머지는 $3$이다.
나머지 $3$은 덩어리의 세 번째 숫자를 가리킨다.

$$2003 = 4 \times 500 + 3 \;\Rightarrow\; \text{나머지 } 3$$

💡 네 개짜리 완전한 덩어리들은 각각 $1$로 되돌아오므로, 새 덩어리로 들어가는 남은 $3$걸음만이 답을 정한다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 4

답 읽어내기

반복되는 덩어리 $3, 9, 7, 1$의 세 번째 항은 $7$이다.
따라서 $3^{2003}$, 그리고 $13^{2003}$의 일의 자리 숫자는 $7$이다.
이것은 선택지 (C)와 일치한다.

$$(3, 9, 7, 1)\text{의 3번째 항} = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 나머지 $3$은 주기의 세 번째 숫자에서 멈추라는 뜻이고, 그것은 $7$이다.

[1] #9 4.NBT.B.5 두 수를 곱할 때 곱의 일의 자리 숫자는 두 수의 일의 자리 숫자만으로 결정된다 — 십의 자리, 백의 자리, 그 위의 자리들은 결코 일의 자리에

[2] #5 4.OA.C.5 $3$의 처음 몇 거듭제곱의 일의 자리를 계산해 보자: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$(일의 자리 $7$), $3^4

[3] #5 4.NBT.B.6 주기의 길이가 $4$이므로 $3^n$의 일의 자리 숫자는 $n$이 네 개짜리 덩어리 안에서 어디에 놓이는지에만 달려 있다: 나머지 $1$이면 $

[4] #3 4.OA.C.5 반복되는 덩어리 $3, 9, 7, 1$의 세 번째 항은 $7$이다. 따라서 $3^{2003}$, 그리고 $13^{2003}$의 일의 자리 숫자는

검토

합리성 확인: 확인 방법은 $3$의 거듭제곱의 일의 자리 숫자로 가능한 값이 정확히 $3, 9, 7, 1$ 네 개뿐이라는 것이다. 따라서 답은 반드시 이 중 하나여야 한다 — 이로써 $3$의 거듭제곱의 일의 자리가 결코 될 수 없는 (D) $8$이 즉시 지워진다. 남은 선택지 중에서, 지수 $2003$은 $4$로 나눈 나머지가 $3$이고, 나머지가 $3$인 모든 지수($3, 7, 11, \dots$)는 일의 자리 숫자 $7$을 준다. 작은 경우 $3^3 = 27$로 확인할 수 있는데, 실제로 $7$로 끝난다. 따라서 (C)는 큰 지수의 우연이 아니라 일관된 결과다.

대안 접근: 주기를 이용해 지수를 모듈러 연산으로 직접 줄인다: $3^n$의 일의 자리 숫자는 주기가 $4$이므로, $3^{2003}$은 $3^{2003 \bmod 4} = 3^{3} = 27$과 같은 일의 자리 숫자를 가지며, 그 일의 자리는 $7$이다. 답은 똑같이 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (자릿값을 통해 곱의 일의 자리 숫자가 곱하는 수들의 일의 자리 숫자에서만 나온다는 것을 파악하여, $13^{2003}$이 $3^{2003}$과 같은 숫자로 끝남을 아는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule ($3$의 거듭제곱의 일의 자리 숫자로 이루어진 반복 덩어리 $3, 9, 7, 1$을 만들고 그 세 번째 항을 읽는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($2003$을 $4$로 나누어 나머지 $3$을 구하고, 이것으로 길이 $4$ 주기 안의 위치를 확정하는 데 사용.)

⭐ 밑의 마지막 자리만 중요하고, $3$의 거듭제곱의 마지막 자리는 $3, 9, 7, 1$로 돈다; $2003$을 $4$로 나눈 나머지가 $3$이므로 마지막 자리는 세 번째 것인 $7$이다.