AMC 10 · 2003 · #22

쉬운 모드 학년 4

문제

어떤 시계는 매 시각 $30$ 분에 한 번 울려요. 정각에는 그 시각의 수만큼 울려요. $1$ 시에는 한 번, $12$ 시에는 열두 번 울려요(낮 $12$ 시와 밤 $12$ 시 모두 열두 번이에요). $2003$ 년 $2$ 월 $26$ 일 오전 $11\!:\!15$ 부터 종소리를 세기 시작해요. $2003$ 번째 종소리는 며칠에 울릴까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

March 8

(B)

March 9

(C)

March 10

(D)

March 20

(E)

March 21

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 시계는 매시 정각의 30분마다 한 번 종을 울리고, 정각에는 12시간 문자판의 시각 수(1부터 12까지)만큼 종을 울린다. 2003년 2월 26일 오전 11시 15분부터 세기 시작할 때, 2003번째 종이 울리는 날짜를 구하여라.

주어진 것: 매시 정각에서 $30$분이 지날 때마다 시계는 정확히 한 번 종을 울린다.; 정각에는 시각 수만큼 울린다: 1시에 $1$번, ..., 12시에 $12$번 (정오와 자정 모두 $12$번).; 세기는 2월 26일 오전 11시 15분부터 시작한다.; 2003년은 윤년이 아니므로 2월은 $28$일까지 있다.; 선택지: (A) 3월 8일, (B) 3월 9일, (C) 3월 10일, (D) 3월 20일, (E) 3월 21일.

구하는 것: 2003번째 종이 울리는 날짜.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #8 단위 살펴보기

$2003$번을 하나씩 세는 것은 불가능하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 네 조각으로 나눈다: (1) 보통 하루에 종이 몇 번 울리는지, (2) 오전 11시 15분 이후 첫날에 남은 종이 몇 번인지, (3) $2003$번까지 몇 번이 더 필요하고 그것이 며칠어치인지, (4) 남은 종이 어느 날짜에 떨어지는지. 도구 #8(단위 살펴보기)은 시계를 '하루당 종 횟수'라는 일정한 비율로 바꿔 세는 대신 나눗셈을 할 수 있게 하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 첫날의 시각별 집계를 빠짐없이 정확하게 유지한다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.5 단계 1

하루에 울리는 종의 수

하루에는 두 종류의 종이 있다.
반시간 종: 하루에 반시간이 $24$번 있고 각각 한 번씩 울리므로 $24$번.
정각 종: 12시간 문자판은 $1,2,\dots,12$로 진행되어 그 합이 $1+2+\cdots+12 = 78$이고, 이것이 하루에 두 번(오전·오후) 있으므로 $2 \times 78 = 156$번.
따라서 하루에는 $24 + 156 = 180$번의 종이 울린다.

$$24 + 2(1+2+\cdots+12) = 24 + 2\cdot 78 = 24 + 156 = 180 \text{ 번/일}$$

💡 하루를 일정한 반시간 종과 점점 커지는 정각 종으로 나눈 뒤 두 합을 더한다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 2

첫날에 남은 종

2월 26일 오전 11시 15분 이후, 그날 끝까지 울리는 종을 모두 나열한다.
반시간 종은 오전 11시 30분, 12시 30분, 1시 30분, ..., 오후 11시 30분까지 한 번짜리 종 $13$번.
정각 종은 정오부터 오후 11시까지 정오의 $12$번에 $1+2+\cdots+11 = 66$을 더해 $78$번.
그래서 2월 26일 남은 시간에는 $13 + 78 = 91$번이 울린다.

$$\underbrace{13}_{\text{반시간 }11\!:\!30\text{AM}\to11\!:\!30\text{PM}} + \underbrace{(12 + 66)}_{\text{정오}\to11\text{PM}} = 13 + 78 = 91$$

💡 시작 시각이 한낮이므로, 다음 자정 전까지 남은 종만 직접 손으로 센다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

남은 종의 수

처음 $91$번은 2월 26일에 다 쓰였다.
$2003$번에 도달하려면 아직 $2003 - 91 = 1912$번이 더 필요하고, 이 종들은 모두 2월 27일 이후에 울리며 그날부터는 하루마다 정확히 $180$번씩 울린다.

$$2003 - 91 = 1912 \text{ 번 남음, 2월 27일부터 시작}$$

💡 지저분한 첫날 부분을 먼저 떼어내면, 남는 것은 깔끔한 며칠의 온전한 날과 약간의 나머지뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 4

온전한 날과 나머지로 나누기

남은 종을 하루 종 수로 나눈다: $1912 \div 180 = 10$ 나머지 $112$.
즉 $10$일의 온전한 날이 $1800$번을 쓰고, 그 뒤로 $112$번이 더 필요하다.
나머지가 $0$이 아니므로 2003번째 종은 마지막 온전한 날에 떨어지지 않고, 바로 다음 날 도중에 떨어진다.

$$1912 = 10 \times 180 + 112, \qquad 0 < 112 < 180$$

💡 온전한 열흘이 들어가고 남은 112번이 하루 더로 넘치므로, 그 넘치는 날이 목표가 떨어지는 날이다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

날짜를 앞으로 세기

$10$일의 온전한 날은 2월 27일부터 시작한다.
세어 보면: 2월 27일, 2월 28일(2일), 그다음 3월 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8일(8일 더) — 정확히 $10$일의 온전한 날이고 3월 8일에 끝난다.
남은 $112$번은 그다음 날인 3월 9일에 울린다.
따라서 2003번째 종은 3월 9일에 울리며, 답은 (B)이다.

$$\text{2월 27, 28일} \to \text{3월 1--8일} = 10\text{일};\ \text{11번째 날} = \text{3월 9일} \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 2월 27일부터 열흘은 3월 8일에 끝나므로, 넘친 종들은 3월 9일에 속한다.

[1] #8 4.NBT.B.5 하루에는 두 종류의 종이 있다. 반시간 종: 하루에 반시간이 $24$번 있고 각각 한 번씩 울리므로 $24$번. 정각 종: 12시간 문자판은 $

[2] #2 4.OA.A.3 2월 26일 오전 11시 15분 이후, 그날 끝까지 울리는 종을 모두 나열한다. 반시간 종은 오전 11시 30분, 12시 30분, 1시 30분,

[3] #7 4.OA.A.3 처음 $91$번은 2월 26일에 다 쓰였다. $2003$번에 도달하려면 아직 $2003 - 91 = 1912$번이 더 필요하고, 이 종들은 모두

[4] #7 4.NBT.B.6 남은 종을 하루 종 수로 나눈다: $1912 \div 180 = 10$ 나머지 $112$. 즉 $10$일의 온전한 날이 $1800$번을 쓰고,

[5] #2 4.OA.A.3 $10$일의 온전한 날은 2월 27일부터 시작한다. 세어 보면: 2월 27일, 2월 28일(2일), 그다음 3월 1, 2, 3, 4, 5, 6,

검토

합리성 확인: 크기를 점검한다: 하루 약 $180$번인 종에서 $2003$번은 대략 $11$일이고, 2월 26일에서 11일 뒤는 3월 초·중순이라 3월 8일~10일 근처 선택지와 맞고 멀리 있는 3월 20일, 21일은 배제된다. 나머지 $112$는 하루치 $180$ 안에 충분히 들어가므로 답은 12번째 날로 넘어가지 않고 11번째 날에 놓여 3월 9일로 확정된다.

대안 접근: 첫 부분날을 떼어내는 대신, 2월 26일 자정부터 전체 종을 세는 방법도 있다: 오전 11시 15분 이전의 자정~오전 11시 종을 포함해 하루씩 누적하며 $2003$을 넘길 때까지 빼 나간다. 어느 방식으로 계산해도 3월 9일의 $112$번째 종에 도달하여 (B)가 나오며, 하루 $180$번 비율로 묶는 방법이 같은 날짜에 더 빨리 이르는 길일 뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (반시간 부분과 정각 부분으로부터 하루 종 총합 $24 + 2\times 78 = 180$을 만드는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (2월 26일에 남은 91번을 집계하고, 빼서 1912번을 구하며, 날짜를 앞으로 세어 날짜를 찾는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($1912 \div 180 = 10$ 나머지 $112$를 계산하고, $0$이 아닌 나머지를 하루 더의 부분날로 읽는 데 사용.)

⭐ 세야 할 수가 아주 크면, 하루가 몇 번어치인지 먼저 구하고, 나눗셈으로 온전한 날 수와 나머지를 얻어라. 그 나머지가 도착할 날을 알려준다.