AMC 10 · 2004 · #2

쉬운 모드 학년 3

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문제

두 자리 수는 $10$ 부터 $99$ 까지의 자연수예요. 이 수들 중에서 숫자 $7$ 이 어딘가에 들어 있는 수 — 십의 자리, 일의 자리, 또는 두 자리 모두 — 는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 자리 양의 정수 중에서, 십의 자리나 일의 자리, 또는 둘 다에 숫자 $7$이 들어 있는 수가 몇 개인지 세어라.

주어진 것: 다루는 수는 두 자리 양의 정수로, $10$부터 $99$까지이다.; 두 자리 중 적어도 하나가 $7$이면 그 수를 센다.; 선택지: (A) $10$, (B) $18$, (C) $19$, (D) $20$, (E) $30$

구하는 것: 십의 자리, 일의 자리, 또는 둘 다에 $7$이 있는 두 자리 정수의 개수

이해

문제 재정리: 두 자리 양의 정수 중에서, 십의 자리나 일의 자리, 또는 둘 다에 숫자 $7$이 들어 있는 수가 몇 개인지 세어라.

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

"$7$이 적어도 하나"는 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)의 전형적인 신호이다. $7$이 들어간 수를 곧바로 세려 하면 $70$–$79$의 열 개에 $17,27,\dots,97$의 아홉 개를 더해야 하는데, $77$이 두 목록에 모두 들어 있어 중복해서 세기 쉽다. 질문을 뒤집는 편이 깔끔하다. 두 자리 수를 모두 센 뒤 $7$이 전혀 없는 수를 빼면 된다. 어떤 수든 $7$을 가지거나 가지지 않거나 둘 중 하나이기 때문이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 자릿수 선택을 정리해 준다 — $7$을 피하는 십의 자리와 일의 자리가 각각 몇 개인지 세어, 빠뜨리거나 겹치지 않고 $7$ 없는 수를 헤아리게 한다.

실행 — 정답: B

#16 관점 바꾸기 2.NBT.A.2 단계 1

두 자리 수 전체 세기

$7$을 쫓는 대신 전체 묶음을 먼저 본다.
두 자리 양의 정수는 $10, 11, 12, \dots, 99$이다.
양 끝을 모두 포함하는 구간을 세면 $99-10+1=90$개이다.
이 수들은 각각 $7$을 포함하거나 포함하지 않으므로, $7$이 없는 수의 개수만 알면 빼기로 나머지를 구할 수 있다.

$$99-10+1 = 90$$

💡 원하는 부분을 곧바로 쫓기보다, 전체를 세고 원하지 않는 부분을 덜어내는 편이 쉽다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 2

7이 없는 수 세기

이제 $7$을 완전히 피하는 두 자리 수를 센다.
십의 자리는 $1,2,3,4,5,6,8,9$가 될 수 있어 $8$가지이다($0$도 $7$도 될 수 없기 때문이다).
일의 자리는 $0,1,2,3,4,5,6,8,9$가 될 수 있어 $9$가지이다($7$만 안 되기 때문이다).
허용된 십의 자리 $8$개는 각각 허용된 일의 자리 $9$개와 짝지어져 $8$묶음의 $9$, 곧 $8\times9=72$개가 $7$ 없는 수이다.

$$8 \times 9 = 72$$

💡 허용된 앞 자리마다 허용된 뒷 자리를 모두 짝지으면 똑같은 묶음이 되므로, 개수는 곱으로 나온다.

#16 관점 바꾸기 2.NBT.B.5 단계 3

빼서 7이 있는 수 구하기

$7$이 적어도 하나 있는 수는 전체 묶음에서 $7$ 없는 묶음을 덜어낸 나머지와 정확히 같다.
$90-72=18$.
이는 선택지 (B)에 해당한다.
각 수는 두 묶음 중 정확히 하나 — $7$이 있거나 없거나 — 에만 들어가므로 중복해서 셀 여지가 없다.

$$90 - 72 = 18 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 전체에서 $7$ 없는 부분을 빼면 정확히 $7$이 적어도 하나 있는 부분만 남는다.

[1] #16 2.NBT.A.2 $7$을 쫓는 대신 전체 묶음을 먼저 본다. 두 자리 양의 정수는 $10, 11, 12, \dots, 99$이다. 양 끝을 모두 포함하는 구간을

[2] #2 3.OA.A.1 이제 $7$을 완전히 피하는 두 자리 수를 센다. 십의 자리는 $1,2,3,4,5,6,8,9$가 될 수 있어 $8$가지이다($0$도 $7$도 될

[3] #16 2.NBT.B.5 $7$이 적어도 하나 있는 수는 전체 묶음에서 $7$ 없는 묶음을 덜어낸 나머지와 정확히 같다. $90-72=18$. 이는 선택지 (B)에 해당

검토

합리성 확인: $18$은 $70$–$79$의 열 개에 $\_7$로 끝나는 아홉 개를 그냥 더한 값보다 약간 작아야 하는데, 실제로 $18$은 그 어림값 $19$보다 하나 적다 — 바로 $77$을 두 번 센 것을 바로잡은 값이다. 그래서 대표적인 중복 함정인 (C) $19$와 (D) $20$이 배제된다. 또한 $7$로 끝나는 수가 $70$대 너머로 여럿 더해지므로 (A) $10$보다 넉넉히 크다. 따라서 $18$은 있어야 할 자리에 정확히 놓인다.

대안 접근: 벤 다이어그램 관점(도구 #12)으로 곧바로 센다. 십의 자리가 $7$인 수: $70,71,\dots,79$로 $10$개이다. 일의 자리가 $7$인 수: $17,27,37,47,57,67,77,87,97$로 $9$개이다. 수 $77$이 두 목록에 모두 나타나므로 포함–배제로 전체는 $10+9-1=18$이 되어 (B)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.NBT.A.2 1000 이내에서 세기, 5·10·100씩 건너뛰며 세기 ($10$부터 $99$까지 두 자리 정수 전체를 $90$개로 세는 데 사용.)
3.OA.A.1 곱을 묶음 속 물건의 총 개수로 해석하기 ($7$ 없는 수를 허용된 십의 자리 $8$개 곱하기 일의 자리 $9$개, 곧 $8\times9=72$로 세는 데 사용.)
2.NBT.B.5 100 이내에서 능숙하게 더하고 빼기 (전체 묶음에서 $7$ 없는 수를 빼는 데 사용: $90-72=18$.)

⭐ "적어도 하나"를 물으면, 전체를 세고 하나도 없는 경우를 빼라 — 중복해서 세는 함정을 피할 수 있다.