AMC 10 · 2004 · #2
학년 3 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"7이 적어도 하나"는 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)의 전형적인 신호이다. 7이 들어간 수를 곧바로 세려 하면 70–79의 열 개에 17,27,…,97의 아홉 개를 더해야 하는데, 77이 두 목록에 모두 들어 있어 중복해서 세기 쉽다. 질문을 뒤집는 편이 깔끔하다. 두 자리 수를 모두 센 뒤 7이 전혀 없는 수를 빼면 된다. 어떤 수든 7을 가지거나 가지지 않거나 둘 중 하나이기 때문이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 자릿수 선택을 정리해 준다 — 7을 피하는 십의 자리와 일의 자리가 각각 몇 개인지 세어, 빠뜨리거나 겹치지 않고 7 없는 수를 헤아리게 한다.
두 자리 수 전체 세기
7을 쫓기 전에 전체 묶음을 본다. 두 자리 수는 10부터 99까지이므로 모두 90 개이다.
원하는 부분을 곧바로 쫓기보다, 전체를 세고 원하지 않는 부분을 덜어내는 편이 쉽다.
2.NBT.A.2Change Focus Count The Complement7이 없는 수 세기
7을 쓰지 않으면 십의 자리는 8 가지, 일의 자리는 9 가지이므로 72 개이다.
허용된 앞 자리마다 허용된 뒷 자리를 모두 짝지으면 똑같은 묶음이 되므로, 개수는 곱으로 나온다.
허용된 모든 첫 자릿수를 허용된 모든 둘째 자릿수와 짝지으면 같은 묶음이 되므로, 개수는 곱이다.
▸ 왜?
두 자리는 서로 상관없이 골라지므로, 개수가 곱해진다.
▸ 왜?
모든 수는 그 숫자를 지니거나 지니지 않으므로, 없는 것을 빼면 있는 것이 남는다.
빼서 7이 있는 수 구하기
전체에서 7 없는 묶음을 덜어낸다. 90에서 72를 빼면 18이 남으므로 답은 (B)이다.
전체에서 7 없는 부분을 빼면 정확히 7이 적어도 하나 있는 부분만 남는다.
2.NBT.B.5Change Focus Count The Complement"적어도 하나"를 물으면, 전체를 세고 하나도 없는 경우를 빼라 — 중복해서 세는 함정을 피할 수 있다.
- 두 자리 수 전체 세기
- 7이 없는 수 세기
- 빼서 7이 있는 수 구하기