AMC 10 · 2007 · #5

쉬운 모드 학년 5

문제

먼 나라에 네 종류의 생물이 삽니다. 아로그(Arog), 브라프(Braf), 크럽(Crup), 드램프(Dramp)입니다. 이들에 대해 다음이 참입니다: 모든 아로그는 브라프이고, 모든 크럽은 브라프이며, 모든 드램프는 아로그이고, 모든 크럽은 드램프입니다. 다음 중 반드시 참이어야 하는 것은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

All Dramps are Brafs and are Crups.

(B)

All Brafs are Crups and are Dramps.

(C)

All Arogs are Crups and are Dramps.

(D)

All Crups are Arogs and are Brafs.

(E)

All Arogs are Dramps and some Arogs may not be Crups.

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 종류의 대상이 겹겹이 포함되는 규칙을 따른다. 모든 Arog는 Braf이고, 모든 Crup은 Braf이며, 모든 Dramp는 Arog이고, 모든 Crup은 Dramp이다. 이 규칙들 때문에 반드시 참이 되는 문장이 다섯 개 중 어느 것인지 고르는 문제다.

주어진 것: 모든 Arog는 Braf이다.; 모든 Crup은 Braf이다.; 모든 Dramp는 Arog이다.; 모든 Crup은 Dramp이다.

구하는 것: 네 규칙에 의해 반드시 참이 되는 보기

이해

주어진 것: 모든 Arog는 Braf이다.; 모든 Crup은 Braf이다.; 모든 Dramp는 Arog이다.; 모든 Crup은 Dramp이다.

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

보조 도구: #3 가능성 지우기

"모든 X는 Y이다"라는 규칙은 X 무리가 Y 무리 안에 통째로 들어간다는 뜻이므로, 한 원을 다른 원 안에 그린다. 원들을 올바르게 겹쳐 넣고 나면 모든 보기를 그림에서 바로 읽어낼 수 있고, 포함 방향을 뒤집은 보기는 지워낼 수 있다.

실행 — 정답: D

#12 벤 다이어그램 그리기 5.G.B.4 단계 1

규칙 하나를 원 속의 원으로 바꾸기

"모든 X는 Y이다"는 X 원 전체가 Y 원 안에 들어간다는 뜻이다.
그래서 Arog 원은 Braf 원 안에, Crup 원은 Braf 원 안에, Dramp 원은 Arog 원 안에, Crup 원은 Dramp 원 안에 들어간다.

💡 포함 규칙은 결국 작은 원 하나가 더 큰 원에 삼켜지는 것이다.

#12 벤 다이어그램 그리기 5.G.B.3 단계 2

원들을 하나의 사슬로 쌓기

가장 작은 무리부터 바깥으로 포함 관계를 따라간다.
Crup은 Dramp 안에, Dramp은 Arog 안에, Arog는 Braf 안에 있다.
그러면 하나의 깔끔한 사슬이 된다: Crup은 Dramp 안, Dramp은 Arog 안, Arog는 Braf 안.
("모든 Crup은 Braf이다"라는 규칙은 이 사슬로 이미 보장된다.)

$$\text{Crups} \subseteq \text{Dramps} \subseteq \text{Arogs} \subseteq \text{Brafs}$$

💡 각 무리가 다음 무리 안에 숨어 있으면, 작은 무리가 속한 것은 그 바깥의 큰 무리도 전부 속한다.

#3 가능성 지우기 5.G.B.4 단계 3

각 보기를 사슬에 대보기

Crup은 Dramp 안, Dramp은 Arog 안, Arog는 Braf 안이라는 사슬로 각 문장을 읽어본다.
(A)는 모든 Dramp가 Crup이라고 하지만 Crup은 더 작은 안쪽 원이라 포함 방향을 뒤집어 실패한다.
(B)는 모든 Braf가 Crup이자 Dramp라고 하여 사슬 전체를 뒤집으므로 실패한다.
(C)는 모든 Arog가 Crup이자 Dramp라고 하여 다시 큰 원을 작은 원 안으로 끌어들이므로 실패한다.
(E)는 모든 Arog가 Dramp라고 하지만 Arog는 더 큰 원이라 실패한다.
(D)는 모든 Crup이 Arog이자 Braf라고 한다: Crup은 Dramp 안, Dramp은 Arog 안, Arog는 Braf 안에 있으니 모든 Crup은 정말로 Arog이자 Braf이다.
오직 (D)만 그림과 맞으므로 답은 (D)이다.

💡 참인 문장은 언제나 사슬에서 바깥쪽으로, 작은 원에서 큰 원으로만 움직인다.

[1] #12 5.G.B.4 "모든 X는 Y이다"는 X 원 전체가 Y 원 안에 들어간다는 뜻이다. 그래서 Arog 원은 Braf 원 안에, Crup 원은 Braf 원 안에,

[2] #12 5.G.B.3 가장 작은 무리부터 바깥으로 포함 관계를 따라간다. Crup은 Dramp 안에, Dramp은 Arog 안에, Arog는 Braf 안에 있다. 그

[3] #3 5.G.B.4 Crup은 Dramp 안, Dramp은 Arog 안, Arog는 Braf 안이라는 사슬로 각 문장을 읽어본다. (A)는 모든 Dramp가 Cru

검토

합리성 확인: 이름을 익숙한 포함 무리로 바꿔보자: Crup = 정사각형, Dramp = 마름모… 어떤 구체적인 사슬이든 통한다. Crup이 Dramp 안, Dramp이 Arog 안, Arog가 Braf 안일 때, 안전한 문장은 안쪽 무리에서 바깥쪽 무리로 향하는 것뿐이다. "모든 Crup은 Arog이자 Braf이다"는 가장 안쪽 원에서 바깥으로 향하므로 반드시 성립하고, 나머지 보기는 모두 바깥 무리를 안쪽 무리로 밀어 넣으려 해서 무너진다.

대안 접근: 그림 대신 규칙을 기호로 이어도 된다: 모든 Crup은 Dramp, 모든 Dramp은 Arog이므로 모든 Crup은 Arog이다. 그리고 모든 Arog는 Braf이므로 모든 Crup은 Braf이다. 이 이행 사슬은 아무것도 그리지 않고 곧장 보기 (D)에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.G.B.3 Understand that attributes belonging to a category apply to all subcategories (작은 무리가 큰 무리 안에 들어가면 큰 무리의 소속이 자동으로 상속됨을 이해하는 데 사용.)
5.G.B.4 Classify two-dimensional figures in a hierarchy based on properties (Crup, Dramp, Arog, Braf를 하나의 겹친 계층으로 배열하고 그로부터 참인 문장을 읽어내는 데 사용.)

⭐ "모든 X는 Y이다"를 원 속의 원으로 바꾼 뒤, 작은 원에서 큰 원으로 바깥을 향하는 문장만 믿어라.