경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 1999 · #15
학년 5 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
글자 2 개를 세 집합에 나눠 넣는 방법은 그리 많지 않으니, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모두 훑으면 빠뜨릴 일이 없어요. 한 집합에 둘 다 넣는 경우 3 가지, 서로 다른 두 집합에 한 개씩 넣는 경우 3 가지 — 합쳐서 정확히 6 가지입니다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 경우의 새 곱을 계산해 가장 큰 값을 고르면 됩니다. 경우 수가 작아 굳이 대수를 끌어들이지 않아도 되니 풀이가 가벼워집니다.
원래 번호판 수 세기
세 집합 크기를 곱하면 60 개, 마지막에 뺄 기준선입니다.
서로 독립인 세 선택을 곱하는 것 — 5학년 "세는 일은 곱셈" 그대로입니다.
5.NBT.B.5Make A Systematic List글자 2개 넣는 경우 나열하기
새 글자 2 개를 나누는 경우를 다 적어요: 한 집합에 둘(3 가지) 또는 두 집합에 하나씩(3 가지) = 6 가지.
경우 수가 적을 때는 모두 적어 두는 것이 정답을 놓치지 않는 가장 안전한 방법입니다.
새 글자 2개를 세 집합에 나누어 넣는 서로 다른 방법은 정확히 6가지이다.
▸ 왜?
두 글자를 더하는 모든 방법은 서로 겹치지 않는 두 무리 중 하나에 속한다 — 두 글자를 한 집합에 모두 넣거나, 서로 다른 두 집합에 한 글자씩 넣는 경우이다. 이 두 무리는 겹치는 것도 빠지는 것도 없으므로, 전체 개수는 첫째 무리의 크기에 둘째 무리의 크기를 더한 것이다.
▸ 왜?
두 글자를 한 집합에 모두 넣는 경우, 결정할 것은 세 집합 중 어느 하나가 그것을 받느냐뿐이다. 각 집합이 정확히 한 가지 방법을 주므로, 방법을 세 집합과 하나씩 짝지으면 3가지가 된다.
▸ 왜?
서로 다른 두 집합에 한 글자씩 넣는 경우, 결정할 것은 세 집합 중 어느 둘이 글자를 받느냐뿐이다. 그 짝은 정확히 (1번, 2번), (1번, 3번), (2번, 3번)이므로, 방법을 이 짝들과 하나씩 짝지으면 3가지가 된다.
▸ 왜?
두 무리의 크기를 더해도 되는 이유는 가능한 모든 분배가 두 무리 중 정확히 하나에만 속하기 때문이다 — 빠지는 것도, 두 번 세는 것도 없으므로 두 무리가 모든 방법으로 다시 합쳐진다.
경우마다 곱해 보기
각 경우마다 새 집합 크기 세 개를 곱해 새 번호판 총 개수를 구합니다.
한 줄에 한 번씩 곱셈을 하면, 경우의 목록이 한 줄로 늘어선 총 개수 표로 바뀝니다.
5.NBT.B.5Guess And Check빼서 늘어난 수 구하기
새 총 개수의 최댓값은 100(5×5×4)이고, 원래 60을 빼면 추가된 번호판 수가 나옵니다.
"추가"는 시작값에 비해 얼마나 늘었는지를 묻는 것이므로, 가장 큰 새 총 개수에서 원래 총 개수를 빼면 됩니다.
4.OA.A.3Guess And Check새 글자 2 개를 세 집합에 나눠 넣는 방법은 단 6 가지뿐 — 모두 적어 곱해 보면 최댓값은 5 × 5 × 4 = 100, 원래 60 보다 40 개 더 많습니다.
- 원래 번호판 수 세기
- 글자 2개 넣는 경우 나열하기
- 경우마다 곱해 보기
- 빼서 늘어난 수 구하기
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