AMC 10 · 2008 · #2

쉬운 모드 학년 2

문제

아래 4 곱하기 4 숫자 격자를 보자. 먼저 둘째 줄을 뒤집어 숫자가 오른쪽에서 왼쪽으로 읽히게 한다. 넷째 줄도 똑같이 뒤집는다. 이제 두 대각선 위에 있는 네 수를 각각 더한다. 더 큰 대각선의 합은 더 작은 대각선의 합보다 얼마나 큰가?

$\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|} \multicolumn{4}{c}{}\\\hline 1&2&3&4\\\hline 8&9&10&11\\\hline 15&16&17&18\\\hline 22&23&24&25\\\hline \end{tabular}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 달력 날짜로 이루어진 $4\times4$ 블록이 주어집니다. 둘째 줄과 넷째 줄의 숫자 순서를 왼쪽-오른쪽으로 뒤집고, 첫째 줄과 셋째 줄은 그대로 둡니다. 그런 다음 두 대각선 각각에 놓인 네 숫자를 더하고, 두 대각선 합의 양의 차를 구합니다.

주어진 것: 블록은 줄 단위로 $1,2,3,4$ 다음 $8,9,10,11$ 다음 $15,16,17,18$ 다음 $22,23,24,25$ 입니다; 둘째 줄과 넷째 줄의 숫자만 왼쪽-오른쪽으로 뒤집습니다; 각 대각선에는 네 숫자가 있고, 두 대각선은 왼쪽위$\to$오른쪽아래와 오른쪽위$\to$왼쪽아래입니다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $10$

구하는 것: 뒤집은 뒤 두 대각선 합의 양의 차

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제의 어려움은 두 줄이 뒤집힌 뒤 어떤 숫자가 어느 칸에 있는지 추적하는 데 있습니다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)로 둘째·넷째 줄을 뒤집은 블록을 직접 다시 그리면, 대각선에서 엉뚱한 숫자를 집을 가능성이 사라집니다. 새 블록을 그린 뒤에는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 세 개의 작고 독립적인 계산으로 나눕니다: 한 대각선 더하기, 다른 대각선 더하기, 빼기.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 2.NBT.B.6 단계 1

뒤집은 뒤 블록 다시 그리기

첫째 줄과 셋째 줄은 그대로 둡니다.
둘째 줄을 $8,9,10,11$ 에서 $11,10,9,8$ 로 뒤집고, 넷째 줄을 $22,23,24,25$ 에서 $25,24,23,22$ 로 뒤집습니다.
위에서 아래로 새 블록은: 첫째 줄 $= 1,2,3,4$; 둘째 줄 $= 11,10,9,8$; 셋째 줄 $= 15,16,17,18$; 넷째 줄 $= 25,24,23,22$ 입니다.

$$\begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\ 11&10&9&8\\ 15&16&17&18\\ 25&24&23&22 \end{array}$$

💡 뒤집은 뒤 모습 그대로 판을 그려서, 기억한 숫자가 아니라 실제 숫자를 읽습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.6 단계 2

주 대각선 더하기

왼쪽위$\to$오른쪽아래 대각선은 첫째 줄의 첫 번째, 둘째 줄의 두 번째, 셋째 줄의 세 번째, 넷째 줄의 네 번째 숫자를 고릅니다: 곧 $1$, $10$, $17$, $22$ 입니다.
더하면 $1+10+17+22=50$ 입니다.

$$1+10+17+22=50$$

💡 한 줄 내려갈 때마다 한 칸씩 오른쪽으로 옮기며 대각선을 따라 내려갑니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.6 단계 3

다른 대각선 더하기

오른쪽위$\to$왼쪽아래 대각선은 첫째 줄의 네 번째, 둘째 줄의 세 번째, 셋째 줄의 두 번째, 넷째 줄의 첫 번째 숫자를 고릅니다: 곧 $4$, $9$, $16$, $25$ 입니다.
더하면 $4+9+16+25=54$ 입니다.

$$4+9+16+25=54$$

💡 이 대각선은 오른쪽 위 모서리에서 시작해 한 줄마다 한 칸씩 왼쪽으로 내려갑니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 4

양의 차 구하기

두 대각선 합은 $50$ 과 $54$ 입니다.
양의 차는 큰 값에서 작은 값을 뺀 것입니다: $54-50=4$.
그래서 답은 (B)입니다.

$$54-50=4\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 양의 차란 그저 큰 합에서 작은 합을 빼는 것입니다.

[1] #1 2.NBT.B.6 첫째 줄과 셋째 줄은 그대로 둡니다. 둘째 줄을 $8,9,10,11$ 에서 $11,10,9,8$ 로 뒤집고, 넷째 줄을 $22,23,24,25$

[2] #7 2.NBT.B.6 왼쪽위$\to$오른쪽아래 대각선은 첫째 줄의 첫 번째, 둘째 줄의 두 번째, 셋째 줄의 세 번째, 넷째 줄의 네 번째 숫자를 고릅니다: 곧 $1

[3] #7 2.NBT.B.6 오른쪽위$\to$왼쪽아래 대각선은 첫째 줄의 네 번째, 둘째 줄의 세 번째, 셋째 줄의 두 번째, 넷째 줄의 첫 번째 숫자를 고릅니다: 곧 $4

[4] #7 2.NBT.B.5 두 대각선 합은 $50$ 과 $54$ 입니다. 양의 차는 큰 값에서 작은 값을 뺀 것입니다: $54-50=4$. 그래서 답은 (B)입니다.

검토

합리성 확인: 뒤집기 전에도 이 달력 블록의 두 대각선은 이미 같은 값 $52$ 로 더해집니다(주 대각선 $1+9+17+25=52$, 반대 대각선 $4+10+16+22=52$). 그러므로 차이는 오직 뒤집기가 실제로 옮긴 칸에서만 생깁니다. 주 대각선에서 옮겨진 칸은 $9\to10$($+1$)과 $25\to22$($-3$)로 순변화 $-2$ 라서 $50$ 이 됩니다. 다른 대각선에서는 $10\to9$($-1$)와 $22\to25$($+3$)로 순변화 $+2$ 라서 $54$ 가 됩니다. $-2$ 와 $+2$ 의 어긋남은 정확히 $4$ 의 간격을 만들어 (B)와 일치하며, 모든 선택지가 그렇듯 답도 작은 짝수입니다.

대안 접근: 두 합을 전부 계산하지 않아도 됩니다. 대각선은 $52$ 로 같게 출발하므로, 각 줄에서 뒤바뀐 대각선 칸 두 개만 중요합니다. 둘째 줄에서 대각선 칸은 한 대각선에서는 $9$ 에서 $10$ 으로 올라가지만 다른 대각선에서는 $10$ 에서 $9$ 로 내려가고, 넷째 줄에서는 한 대각선에서 $25$ 에서 $22$ 로 내려가지만 다른 대각선에서는 $22$ 에서 $25$ 로 올라갑니다. 각 대각선은 $|1|+|3|$ 만큼 움직이되 $-2$ 와 $+2$ 로 갈리므로, 끝에 가서 $2+2=4$ 만큼 벌어집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

2.NBT.B.6 자릿값과 연산의 성질을 이용하여 두 자리 수 네 개까지 더한다 (각 대각선의 네 숫자를 더하는 데 사용, $1+10+17+22=50$ 과 $4+9+16+25=54$.)
2.NBT.B.5 자릿값과 연산의 성질을 이용하여 100 이내에서 유창하게 더하고 뺀다 (두 대각선 합의 양의 차 $54-50=4$ 를 계산하는 데 사용.)

⭐ 숫자가 격자 안에서 움직이면, 먼저 격자를 다시 그린 다음 기억이 아니라 새 그림에서 대각선을 읽으세요.