AMC 8 · 2003 · #1

학년 2 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

spatial-visualizationmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

세 친구가 같은 정육면체를 봅니다. Jamie는 모서리의 개수를, Jimmy는 꼭짓점의 개수를, Judy는 면의 개수를 셉니다. 세 수를 더하면 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

묻는 답은 한 수이지만 그 수는 독립적인 세 개수를 더해 만든 값입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 모서리 세기, 꼭짓점 세기, 면 세기의 세 작은 일로 나누고 마지막에 더하기만 하면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 작은 일을 처리합니다 — 면은 방향별(위·아래·옆 네 면), 꼭짓점은 층별(아래층·위층), 모서리는 방향별 그룹(아래 가로·위 가로·세로)으로 나열하면 빠뜨림 없이, 겹침 없이 셀 수 있습니다.

1STEP 1

정육면체의 면을 방향별로 묶습니다 — 위, 아래, 옆면 넷 — 모두 6.

면 = 1 (위) + 1 (아래) + 4 (옆면) = 6

2STEP 2

꼭짓점은 아래 네 모퉁이와 위 네 모퉁이에 있어 모두 8.

꼭짓점 = 4 (아래) + 4 (위) = 8

3STEP 3

모서리는 아래·위·세로의 평행한 세 묶음으로 나뉘어 모두 12.

모서리 = 4 (아래) + 4 (위) + 4 (세로) = 12

4STEP 4

세 소계 — 면, 꼭짓점, 모서리 — 를 더하면 26.

12 + 8 + 6 = 26 → (E)

정답

볼록 다면체에서 항상 성립하는 오일러 식 V - E + F = 2 로 확인해 봅니다. V = 8, E = 12, F = 6 을 넣으면 8 - 12 + 6 = 2 로 맞으므로 세 개수가 서로 일관됩니다. 그리고 V + E + F = 8 + 12 + 6 = 26, 답 (E) 와 일치합니다. 또한 답이 선택지 중 가장 큰 값인 점도 자연스러운데, 양수 셋을 더한 값이라 결과가 클 수밖에 없기 때문입니다.

💡핵심 정리

3차원 도형에 대한 큰 질문도 잘게 쪼개면 쉬워집니다 — 면 세기, 꼭짓점 세기, 모서리 세기, 그리고 더하기. 정육면체는 언제나 6, 8, 12 이고, 합은 26 입니다.

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