AMC 10 · 2011 · #13
쉬운 모드 학년 3다음 규칙에 맞는 세 자리 수를 만들려고 한다.
- 수는 200과 700 사이에 있다.
- 수는 짝수이다.
- 세 자리 숫자가 모두 서로 다르다.
- 각 자리의 숫자는 1,2,5,7,8,9 중에서만 고른다.
이런 수는 몇 개 만들 수 있는가?
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AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $200$과 $700$ 사이의 정수 중에서, 짝수이고, 세 자리 숫자가 모두 서로 다르며, 각 자리 숫자가 집합 $\{1,2,5,7,8,9\}$에서 나오는 수가 몇 개인지 센다.
주어진 것: 그 수는 $200$과 $700$ 사이에 있다; 그 수는 짝수이다; 세 자리 숫자가 모두 서로 다르다; 각 자리 숫자는 $\{1,2,5,7,8,9\}$에서 골라야 한다
구하는 것: 이런 조건을 만족하는 세 자리 수가 몇 개인지
이해
문제 재정리: $200$과 $700$ 사이의 정수 중에서, 짝수이고, 세 자리 숫자가 모두 서로 다르며, 각 자리 숫자가 집합 $\{1,2,5,7,8,9\}$에서 나오는 수가 몇 개인지 센다.
주어진 것: 그 수는 $200$과 $700$ 사이에 있다; 그 수는 짝수이다; 세 자리 숫자가 모두 서로 다르다; 각 자리 숫자는 $\{1,2,5,7,8,9\}$에서 골라야 한다
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
"몇 개인가"를 묻고 있으므로, 자리마다 숫자를 하나씩 채워 가며 각 자리의 가능한 선택 수를 센다. 일의 자리가 가장 빡빡한 조건(짝수 여부를 정함)이므로, 백의 자리를 기준으로 경우를 나누고, 각 경우를 자리별 선택 수의 곱으로 센 뒤 경우들을 더한다.
실행 — 정답: A
2.NBT.A.1 단계 1 백의 자리 숫자 정하기
- $200$과 $700$ 사이의 수는 백의 자리가 $2, 3, 4, 5, 6$ 중 하나이다.
- 그런데 각 자리 숫자는 $\{1,2,5,7,8,9\}$에서 나와야 하고, 두 목록에 모두 있는 숫자는 $2$와 $5$뿐이다.
- 따라서 백의 자리는 $2$ 또는 $5$이다.
💡 백의 자리 하나가 그 수가 어느 100 구간에 있는지를 정하므로, 먼저 범위에 맞는 것만 남긴다.
2.OA.C.3 단계 2 일의 자리 숫자 정하기
- 어떤 수가 짝수인 것은 마지막 자리 숫자가 짝수일 때뿐이다.
- $\{1,2,5,7,8,9\}$에서 짝수는 $2$와 $8$뿐이다.
- 따라서 일의 자리는 $2$ 또는 $8$이어야 한다.
💡 짝수인지 홀수인지는 일의 자리로 정해지므로, 마지막 자리만 걸러 내면 짝수 조건이 모두 해결된다.
3.OA.A.1 단계 3 경우 1: 백의 자리가 2
- 일의 자리는 짝수이면서 백의 자리 $2$와 달라야 하므로, 남는 선택은 $8$뿐이다.
- 십의 자리는 $2$와 $8$을 뺀 나머지 허용 숫자, 즉 $\{1,5,7,9\}$ 중 아무거나 될 수 있어 $4$가지다.
- 이 경우의 수는 $1 \times 4 = 4$개이다.
💡 백의 자리와 일의 자리가 정해지면, 남은 것은 십의 자리에 쓸 수 있는 숫자가 몇 개인지뿐이다.
3.OA.A.1 단계 4 경우 2: 백의 자리가 5
- 일의 자리는 짝수이므로 $2$ 또는 $8$이고, 둘 다 $5$와 다르므로 모두 가능해 $2$가지다.
- 백의 자리와 일의 자리를 쓰고 나면 허용 숫자 $6 - 2 = 4$개가 십의 자리에 남는다.
- 이 경우의 수는 $2 \times 4 = 8$개이다.
💡 각 자리의 자유로운 선택 수를 세어 곱한다. 모든 일의 자리 선택이 모든 십의 자리 선택과 짝지어지기 때문이다.
2.OA.A.1 단계 5 경우들 더하기
- 두 경우는 백의 자리 숫자가 서로 달라 겹치지 않으므로 그냥 더한다: $4 + 8 = 12$.
- 이런 수는 $12$개이고, 이는 보기 (A)이다.
💡 겹치지 않는 별개의 경우들은 그냥 더해서 전체 개수를 얻을 수 있다.
2.NBT.A.1 $200$과 $700$ 사이의 수는 백의 자리가 $2, 3, 4, 5, 6$ 중 하나이다. 그런데 각 자리 숫자는 ${1,2,5,7,8,9} 2.OA.C.3 어떤 수가 짝수인 것은 마지막 자리 숫자가 짝수일 때뿐이다. $\{1,2,5,7,8,9\}$에서 짝수는 $2$와 $8$뿐이다. 따라서 일의 자리 3.OA.A.1 일의 자리는 짝수이면서 백의 자리 $2$와 달라야 하므로, 남는 선택은 $8$뿐이다. 십의 자리는 $2$와 $8$을 뺀 나머지 허용 숫자, 즉 3.OA.A.1 일의 자리는 짝수이므로 $2$ 또는 $8$이고, 둘 다 $5$와 다르므로 모두 가능해 $2$가지다. 백의 자리와 일의 자리를 쓰고 나면 허용 숫 2.OA.A.1 두 경우는 백의 자리 숫자가 서로 달라 겹치지 않으므로 그냥 더한다: $4 + 8 = 12$. 이런 수는 $12$개이고, 이는 보기 (A)이다. 검토
합리성 확인: 합계 $12$는 작은 값인데, 이는 타당하다. 숫자 집합이 빡빡하고, 수가 짝수여야 하며, 같은 숫자를 반복할 수 없어 대부분의 조합이 걸러지기 때문이다. 경우 1을 빠르게 확인하면 — $2\_8$ 꼴에서 십의 자리가 $\{1,5,7,9\}$이면 $218, 258, 278, 298$로 정확히 $4$개 — 세는 방법이 맞고 보기 (A)와 일치한다.
대안 접근: 일의 자리 기준으로 나열할 수도 있다. $2$로 끝나는 수는 ($2$가 이미 쓰였으므로) 백의 자리가 $5$여야 하고 십의 자리가 $4$가지: $4$개. $8$로 끝나는 수는 백의 자리가 $2$ 또는 $5$이고 각각 십의 자리가 $4$가지: $8$개. 합계 $4 + 8 = 12$로 같은 답이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
2.NBT.A.1Understand that the three digits of a three-digit number represent hundreds, tens, and ones (백의 자리 숫자를 읽어 어떤 수가 $200$과 $700$ 사이에 드는지 판단하기.)2.OA.C.3Determine whether a group of objects has an odd or even number (마지막 자리 숫자를 이용해 짝수만 남기기.)3.OA.A.1Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups (각 자리의 선택 수를 곱해 각 경우의 수를 세기.)2.OA.A.1Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 (겹치지 않는 두 경우의 개수를 더해 최종 개수를 구하기.)
⭐ 까다로운 규칙(범위와 짝수)이 걸린 자리부터 먼저 정하고, 남은 자유로운 선택 수를 세어 곱한 뒤, 별개의 경우들을 마지막에 더한다.
⭐ 까다로운 규칙(범위와 짝수)이 걸린 자리부터 먼저 정하고, 남은 자유로운 선택 수를 세어 곱한 뒤, 별개의 경우들을 마지막에 더한다.
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