AMC 10 · 2011 · #3

쉬운 모드 학년 5

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문제

어떤 가게는 모든 길이를 가장 가까운 정수 인치로 반올림해서 표시한다. 그래서 $x$ 인치라고 표시된 변은 실제로 $x - 0.5$ 인치부터 $x + 0.5$ 인치까지 어떤 값도 될 수 있다.

직사각형 타일의 한 변은 $2$ 인치, 다른 변은 $3$ 인치라고 표시되어 있다. 이 타일의 실제 넓이가 가장 작을 때, 몇 제곱인치인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3.75

(B)

4.5

(C)

(D)

(E)

8.75

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 가게에서 길이를 $x$인치라고 표시하면, 실제 길이는 $x-0.5$인치 이상 $x+0.5$인치 이하라는 뜻이다. 직사각형 타일의 크기가 $2$인치 $\times$ $3$인치로 표시되어 있다. 이 타일의 최소 넓이는 몇 제곱인치인지 구하여라.

주어진 것: 표시된 길이 $x$는 실제 길이가 $x-0.5$인치 이상 $x+0.5$인치 이하임을 뜻한다; 타일의 표시된 크기는 $2$인치 $\times$ $3$인치이다; 선택지: (A) $3.75$, (B) $4.5$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $8.75$

구하는 것: 직사각형의 최소 넓이(제곱인치)

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #7 작은 문제로 쪼개기

문제가 최솟값을 물으므로 도구 #14(극단의 원리)가 풀이의 중심이다. 각 변의 길이를 표시 범위가 허용하는 가장 작은 값까지 밀어붙인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 조각으로 나눈다. 먼저 각 변이 될 수 있는 가장 작은 값을 찾고, 그다음 곱한다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 인치 $\times$ 인치가 제곱인치가 됨을 확인하여, 우리가 구한 값이 실제로 넓이임을 보장한다.

실행 — 정답: A

#14 극단의 원리 5.NBT.B.7 단계 1

각 변의 최솟값 찾기

표시된 길이는 양쪽으로 최대 $0.5$인치까지 차이가 날 수 있으므로, 한 변의 실제 최솟값은 $\text{(표시값)} - 0.5$이다.
$2$인치 변은 최소 $2-0.5=1.5$인치, $3$인치 변은 최소 $3-0.5=2.5$인치이다.

$$2-0.5=1.5,\qquad 3-0.5=2.5$$

💡 타일을 가장 작게 만들려면 모든 변을 표시가 허용하는 가장 낮은 값까지 줄인다.

#14 극단의 원리 5.NF.B.5 단계 2

가장 작은 변들이 가장 작은 넓이를 만든다

넓이는 세로 $\times$ 가로이고 둘 다 양수이다.
두 인수 중 어느 하나를 작게 만들면 곱도 작아지므로, 두 변이 모두 최솟값일 때 넓이가 가장 작다.
따라서 최소 세로 $1.5$와 최소 가로 $2.5$를 짝지어야 하며, 한쪽만 작고 한쪽은 큰 조합이 아니다.

$\text{넓이}=\text{세로}\times\text{가로}$, 두 인수가 모두 최소일 때 최소

💡 더 작은 수를 곱하면 결과는 항상 작아지므로, 가장 작은 두 변이 가장 작은 넓이를 만든다.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.3 단계 3

최소 넓이 세우기

직사각형 넓이 공식을 두 최소 길이에 적용한다.
최소 넓이는 $1.5$인치 $\times$ $2.5$인치이다.
단위를 확인하면 인치 $\times$ 인치는 제곱인치가 되며, 이는 넓이에 알맞은 단위이다.

$$A_{\min}=1.5\text{ in}\times2.5\text{ in}$$

💡 직사각형의 넓이는 두 변의 길이를 곱한 것일 뿐이다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 4

소수 곱하기

$1.5\times2.5$를 계산한다.
한 가지 방법: $1.5\times2.5=1.5\times2+1.5\times0.5=3+0.75=3.75$.
따라서 최소 넓이는 $3.75$제곱인치이고, 이는 선택지 (A)이다.
다른 선택지는 변을 줄이지 않아서 생긴다.
$2\times3=6$은 표시값 그대로이고 (D), $2.5\times3.5=8.75$는 최댓값 변을 쓴 것이다 (E).

$$1.5\times2.5=3+0.75=3.75\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 곱셈을 정수 부분과 반($0.5$) 부분으로 나눈 뒤 더한다.

[1] #14 5.NBT.B.7 표시된 길이는 양쪽으로 최대 $0.5$인치까지 차이가 날 수 있으므로, 한 변의 실제 최솟값은 $\text{(표시값)} - 0.5$이다. $2$

[2] #14 5.NF.B.5 넓이는 세로 $\times$ 가로이고 둘 다 양수이다. 두 인수 중 어느 하나를 작게 만들면 곱도 작아지므로, 두 변이 모두 최솟값일 때 넓이가

[3] #8 4.MD.A.3 직사각형 넓이 공식을 두 최소 길이에 적용한다. 최소 넓이는 $1.5$인치 $\times$ $2.5$인치이다. 단위를 확인하면 인치 $\time

[4] #8 5.NBT.B.7 $1.5\times2.5$를 계산한다. 한 가지 방법: $1.5\times2.5=1.5\times2+1.5\times0.5=3+0.75=3.75

검토

합리성 확인: 표시값 그대로의 넓이는 $2\times3=6$제곱인치이므로 최솟값은 $6$보다 작아야 한다. 실제로 $3.75<6$이니 맞는다. 또한 각 변이 $0.5$씩만 줄어드니 $0$보다는 크고 $6$에서 아주 멀지도 않아야 하는데, $3.75$는 최대 넓이 $2.5\times3.5=8.75$와 훨씬 작은 값 사이에 알맞게 놓인다. 함정 답 $6$과 $8.75$는 최소 변 대신 표시값이나 최댓값 변을 쓴 결과이다.

대안 접근: 극단값을 선택지에 직접 대보는 방법도 있다. 최대 넓이는 $2.5\times3.5=8.75$(E), 표시값 넓이는 $2\times3=6$(D)이다. 문제는 최솟값을 원하므로 둘 다 너무 크고, 가장 작은 변들의 곱 $1.5\times2.5=3.75$만 남아 (A)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.B.7 소수를 백분위까지 더하고, 빼고, 곱하고, 나누기 (각 표시 변에서 $0.5$ 빼기($2-0.5$, $3-0.5$)와 $1.5\times2.5=3.75$ 곱하기.)
5.NF.B.5 곱셈을 크기 조정(확대/축소)으로 해석하기 (각 인수를 작게 만들면 곱이 작아지므로 최소 변들이 최소 넓이를 준다는 추론.)
4.MD.A.3 실생활 문제에서 직사각형의 넓이와 둘레 공식 적용하기 (넓이 $=$ 세로 $\times$ 가로를 이용해 두 최소 변 길이를 최소 넓이로 바꾸기.)

⭐ 곱을 가능한 한 작게 만들려면, 곱하는 각 값을 허용되는 만큼 최대한 작게 만든다.