AMC 10 · 2011 · #6

쉬운 모드 학년 5

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문제

캐스퍼는 사탕 한 봉지를 가지고 시작한다. 첫째 날 그는 사탕의 $\frac{1}{3}$ 을 먹고, 남동생에게 $2$ 개를 준다.

둘째 날 그는 남은 사탕의 $\frac{1}{3}$ 을 먹고, 여동생에게 $4$ 개를 준다. 셋째 날 그는 마지막 $8$ 개를 먹는다.

캐스퍼가 처음에 가지고 있던 사탕은 몇 개일까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 캐스퍼는 사탕을 몇 개 가지고 시작한다. 첫째 날: 사탕의 $\frac{1}{3}$을 먹고 $2$개를 준다. 둘째 날: 남은 사탕의 $\frac{1}{3}$을 먹고 $4$개를 준다. 셋째 날: 마지막 남은 $8$개를 먹는다. 처음에 사탕을 몇 개 가지고 있었는지 구하여라.

주어진 것: 매일 그날 시작할 때 가진 사탕의 $\frac{1}{3}$을 먹는다; 첫째 날 먹은 뒤 $2$개를 주고, 둘째 날 먹은 뒤 $4$개를 준다; 셋째 날에 정확히 $8$개가 남아 있고 그것을 모두 먹는다; 선택지: (A) $30$, (B) $39$, (C) $48$, (D) $57$, (E) $66$

구하는 것: 캐스퍼가 처음에 가지고 있던 사탕의 개수

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #6 추측하고 확인하기

이 문제는 이야기의 끝($8$개 남음)을 주고 시작을 묻는다. 그래서 도구 #11(거꾸로 풀기)이 딱 맞는다. 각 행동을 반대 순서로 되돌린다. 준 것을 되돌리려면 사탕을 다시 더하고, $\frac{1}{3}$을 먹은 것을 되돌리려면 남은 $\frac{2}{3}$에서 전체를 되찾는다. 도구 #4(변수 도입하기)는 앞으로 가는 식으로 교차 확인을 해 주고, 도구 #6(추측하고 확인하기)은 되찾은 시작값을 이야기대로 앞으로 실행하거나 선택지를 시험해 확인하게 해 준다.

실행 — 정답: A

#11 거꾸로 풀기 4.OA.A.3 단계 1

마지막에 준 사탕 되돌리기

이야기를 끝에서부터 읽는다.
셋째 날 캐스퍼는 마지막 $8$개를 먹으므로, 셋째 날 시작 때 $8$개를 가지고 있었다.
이 $8$개는 둘째 날 여동생에게 $4$개를 준 뒤에 남은 것이다.
그 준 것을 되돌리려면 $4$개를 다시 넣으면 된다.
주기 전에는 $8 + 4 = 12$개였다.
따라서 둘째 날 먹기를 마친 직후에 $12$개를 가지고 있었다.

$$8 + 4 = 12$$

💡 사탕을 준 것을 되돌리려면 다시 돌려받으면 된다.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.A.2 단계 2

먹은 뒤 남는 비율 알아내기

캐스퍼는 매일 그날 사탕의 $\frac{1}{3}$을 먹는다.
먹지 않은 것은 남고, 남는 부분은 $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$이다.
따라서 둘째 날 먹은 뒤 남은 $12$개는 바로 둘째 날 시작 때 가진 개수의 $\frac{2}{3}$이다.
$\frac{2}{3}$과 $12$ 사이의 이 연결이 각 먹기를 거꾸로 밟아 갈 때 쓰는 열쇠다.

$$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

💡 $\frac{1}{3}$을 먹으면 언제나 $\frac{2}{3}$이 남는다.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.B.6 단계 3

각 날의 시작 개수 되찾기

어떤 날 사탕의 $\frac{2}{3}$이 $12$개라면, $\frac{1}{3}$은 $12$의 절반인 $6$개이고, 전체($\frac{3}{3}$)는 $3 \times 6 = 18$개다.
캐스퍼는 둘째 날을 $18$개로 시작했다.
이 $18$개는 첫째 날 남동생에게 $2$개를 준 뒤 남은 것이므로, 주기 전에는 $18 + 2 = 20$개였다.
이제 $20$은 처음 사탕의 $\frac{2}{3}$이다.
$\frac{1}{3}$은 $20$의 절반인 $10$이므로 전체 시작값은 $3 \times 10 = 30$개다.
캐스퍼는 $30$개로 시작했고, 이는 선택지 (A)다.

$$\tfrac{2}{3}\,x = 12 \Rightarrow x = 18;\quad 18 + 2 = 20;\quad \tfrac{2}{3}\,y = 20 \Rightarrow y = 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 전체의 $\frac{2}{3}$을 알면 전체를 다시 세울 수 있다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 4

이야기를 앞으로 실행해 확인하기

되찾은 시작값 $30$을 이야기대로 앞으로 실행해 시험한다.
첫째 날: $30$의 $\frac{1}{3}$인 $10$을 먹어 $20$이 남고, $2$개를 주어 $18$이 남는다.
둘째 날: $18$의 $\frac{1}{3}$인 $6$을 먹어 $12$가 남고, $4$개를 주어 $8$이 남는다.
셋째 날: 마지막 $8$개를 먹는다.
모든 것이 문제와 정확히 일치하므로 $30$이 맞다.

$$30 \xrightarrow{-10} 20 \xrightarrow{-2} 18 \xrightarrow{-6} 12 \xrightarrow{-4} 8 \xrightarrow{-8} 0$$

💡 정확한 결말로 이어지는 시작값이라면 그것이 옳은 시작값이다.

[1] #11 4.OA.A.3 이야기를 끝에서부터 읽는다. 셋째 날 캐스퍼는 마지막 $8$개를 먹으므로, 셋째 날 시작 때 $8$개를 가지고 있었다. 이 $8$개는 둘째 날

[2] #11 5.NF.A.2 캐스퍼는 매일 그날 사탕의 $\frac{1}{3}$을 먹는다. 먹지 않은 것은 남고, 남는 부분은 $1 - \frac{1}{3} = \frac{

[3] #11 5.NF.B.6 어떤 날 사탕의 $\frac{2}{3}$이 $12$개라면, $\frac{1}{3}$은 $12$의 절반인 $6$개이고, 전체($\frac{3}{3

[4] #6 4.OA.A.3 되찾은 시작값 $30$을 이야기대로 앞으로 실행해 시험한다. 첫째 날: $30$의 $\frac{1}{3}$인 $10$을 먹어 $20$이 남고,

검토

합리성 확인: 앞으로 실행하면 셋째 날 뒤 사탕이 $0$이 되고, 매 단계에서 남는 양($20$, $18$, $12$, $8$)이 모두 맞으므로 답 $30$은 이야기 전체와 일치한다. 또한 이는 가장 작은 선택지인데, 먹기 직전마다 $3$의 배수여야 하며 점점 줄어드는 사탕 더미에 어울린다. $66$처럼 더 큰 선택지라면 끝에 $8$보다 훨씬 많이 남는다.

대안 접근: 변수를 써서 앞으로 가는 식을 세운다. 시작을 $x$라 하자. 첫째 날 뒤: $\frac{2}{3}x - 2$. 둘째 날 먹은 뒤: $\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}x - 2\right)$, 여기서 $-4$를 하면 마지막 $8$이 남는다: $\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}x - 2\right) - 4 = 8$. 풀면 $\frac{2}{3}x - 2 = 18$, 즉 $\frac{2}{3}x = 20$, $x = 30$이다. 선택지를 하나씩 시험해도 되는데, 셋째 날에 정확히 $8$개로 이어지는 것은 $30$뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (준 사탕을 다시 더해 되돌리고($8+4=12$, $18+2=20$) 이야기를 앞으로 실행해 답을 확인하는 데 사용.)
5.NF.A.2 Solve word problems involving addition and subtraction of fractions (먹은 뒤 남는 비율을 구하는 데 사용: 매일 $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$이 남는다.)
5.NF.B.6 Solve real-world problems involving multiplication of fractions and mixed numbers (남은 $\frac{2}{3}$에서 각 날의 전체 개수를 되찾는 데 사용(더미의 $\frac{2}{3}=12 \Rightarrow 18$, $=20 \Rightarrow 30$).)

⭐ 끝에서 출발해 각 행동을 되돌려라. 준 것은 다시 더하고, 남은 $\frac{2}{3}$에서 전체 더미를 다시 세워라.