AMC 10 · 2012 · #4
쉬운 모드 학년 4세 반직선이 모두 같은 점 B에서 시작해요. 반직선 BC는 반직선 BA와 24∘의 각을 이뤄요. 반직선 BD는 반직선 BA와 20∘의 각을 이루는데, 어느 쪽으로든 기울 수 있어요. 반직선 BC와 반직선 BD 사이의 각은 가장 작을 때 몇 도일까요?
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 반직선 $BC$는 반직선 $BA$와 $24^\circ$의 각을 이루고, 반직선 $BD$는 반직선 $BA$와 $20^\circ$의 각을 이룬다. 세 반직선은 모두 같은 점 $B$에서 출발한다. $BC$와 $BD$ 사이의 각이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하라.
주어진 것: $\angle ABC = 24^\circ$; $\angle ABD = 20^\circ$; 반직선 $BA$, $BC$, $BD$는 모두 꼭짓점 $B$를 공유한다; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $12$
구하는 것: 반직선 $BC$와 $BD$ 사이의 각 $\angle CBD$가 가질 수 있는 가장 작은 값
이해
문제 재정리: 반직선 $BC$는 반직선 $BA$와 $24^\circ$의 각을 이루고, 반직선 $BD$는 반직선 $BA$와 $20^\circ$의 각을 이룬다. 세 반직선은 모두 같은 점 $B$에서 출발한다. $BC$와 $BD$ 사이의 각이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하라.
주어진 것: $\angle ABC = 24^\circ$; $\angle ABD = 20^\circ$; 반직선 $BA$, $BC$, $BD$는 모두 꼭짓점 $B$를 공유한다; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $12$
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #1 그림 그리기
"가장 작은"이라는 말은 최소/최대를 찾으라는 신호이므로, 도구 #14(극단의 원리)에 따라 경계가 되는 배치들을 나열하고 그중 극단을 고른다. 자유롭게 정할 수 있는 것은 반직선 $BD$가 반직선 $BA$의 어느 쪽에 놓이는가뿐이어서 경우는 단 두 가지다. 도구 #1(그림 그리기)로 이 두 배치를 눈에 보이게 만들면 더하기와 빼기 중 무엇을 할지가 분명해진다.
실행 — 정답: C
4.G.A.1 단계 1 B에서 세 반직선 그리기
- 반직선 $BA$를 기준으로 삼는다.
- 반직선 $BC$를 거기서 $24^\circ$ 벌려 그린다.
- 반직선 $BD$는 $BA$와 $20^\circ$이지만 어느 쪽인지는 말하지 않았으므로, $C$ 쪽으로 $20^\circ$ 벌어질 수도, 반대쪽으로 $20^\circ$ 벌어질 수도 있다.
💡 한 반직선을 고정하고 나머지를 그 옆에 그리면, 흩어진 세 사실이 잴 수 있는 그림 하나가 된다.
4.MD.C.5 단계 2 모든 각은 반직선 BA를 공유한다
- 주어진 두 각은 모두 같은 반직선 $BA$에서 잰다.
- 그래서 반직선 $BD$는 $BA$와 $BC$ 사이(같은 쪽)에 있거나, $BA$를 넘어 $BC$에서 먼 쪽(반대쪽)에 있다.
- 위치는 이 둘뿐이다.
💡 두 각을 같은 반직선에서 잴 때, 두 각이 얼마나 겹치는지는 두 번째 반직선이 어느 쪽으로 기우는가에만 달려 있다.
4.MD.C.7 단계 3 각 경우마다 더하거나 빼기
- 같은 쪽: 반직선 $BD$가 $\angle ABC$ 안에 놓이므로, $\angle CBD$는 $\angle ABD$를 뺀 나머지다: $24^\circ - 20^\circ = 4^\circ$.
- 반대쪽: 두 각이 반직선 $BA$를 중심으로 쌓인다: $24^\circ + 20^\circ = 44^\circ$.
💡 각의 크기는 겹치지 않으면 더해지고, 하나가 다른 하나 안에 들어가면 빼진다.
4.MD.C.7 단계 4 더 작은 경우 고르기
- 문제는 가장 작은 $\angle CBD$를 원한다.
- $4^\circ$와 $44^\circ$ 중 더 작은 것은 $4^\circ$이고, 이는 반직선 $BD$가 $\angle ABC$ 안에 들어갈 때 생긴다.
- 따라서 정답은 (C)다.
💡 두 반직선 사이 간격을 가장 작게 만들려면, 규칙이 허용하는 한 최대한 같은 방향으로 겨누면 된다.
4.G.A.1 반직선 $BA$를 기준으로 삼는다. 반직선 $BC$를 거기서 $24^\circ$ 벌려 그린다. 반직선 $BD$는 $BA$와 $20^\circ$이 4.MD.C.5 주어진 두 각은 모두 같은 반직선 $BA$에서 잰다. 그래서 반직선 $BD$는 $BA$와 $BC$ 사이(같은 쪽)에 있거나, $BA$를 넘어 $ 4.MD.C.7 같은 쪽: 반직선 $BD$가 $\angle ABC$ 안에 놓이므로, $\angle CBD$는 $\angle ABD$를 뺀 나머지다: $24^\c 4.MD.C.7 문제는 가장 작은 $\angle CBD$를 원한다. $4^\circ$와 $44^\circ$ 중 더 작은 것은 $4^\circ$이고, 이는 반직선 검토
합리성 확인: 두 반직선은 공통 반직선에서 각각 $24^\circ$, $20^\circ$ 떨어져 있으므로, 같은 쪽에 있을 때 차이는 $24 - 20 = 4^\circ$보다 작을 수 없다. 두 반직선은 결코 겹칠 수 없어 선택지 (A) $0$은 배제된다. $4^\circ$는 주어진 선택지에 있고 두 자료의 차와 일치하므로 (C)는 일관적이다. 또 다른 극단인 $44^\circ$는 가능한 가장 큰 값이어서, $4^\circ$가 가장 작다는 것을 확인해 준다.
대안 접근: 반직선 $BA$로부터의 방향을 수직선 위에 놓자: $BC$는 $+24^\circ$를 가리키고, $BD$는 $+20^\circ$ 또는 $-20^\circ$를 가리킨다. 간격 $\angle CBD$는 $|24 - 20| = 4^\circ$ 또는 $|24 - (-20)| = 44^\circ$다. 절댓값 차이는 두 방향의 부호가 같을 때 가장 작아지며, 다시 $4^\circ$와 (C)가 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.G.A.1Draw points, lines, line segments, rays, angles, and identify in figures (반직선 $BC$와 $BD$를 반직선 $BA$로부터 주어진 각만큼 그려 두 배치를 그림으로 나타내기.)4.MD.C.5Recognize angles as geometric shapes formed when two rays share an endpoint ($\angle ABC$와 $\angle ABD$가 모두 공유 반직선 $BA$에서 측정됨을 파악해 두 경우를 세우기.)4.MD.C.7Recognize angle measure as additive and solve addition and subtraction problems ($24^\circ - 20^\circ = 4^\circ$(같은 쪽)와 $24^\circ + 20^\circ = 44^\circ$(반대쪽)를 계산한 뒤 더 작은 값 고르기.)
⭐ 두 반직선을 같은 시작 반직선에서 잴 때, 같은 방향으로 겨누면 그 사이 각이 가장 작아진다 — 여기서는 $24 - 20 = 4$도만 남는다.
⭐ 두 반직선을 같은 시작 반직선에서 잴 때, 같은 방향으로 겨누면 그 사이 각이 가장 작아진다 — 여기서는 $24 - 20 = 4$도만 남는다.
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