AMC 10 · 2012 · #15
쉬운 모드 학년 5여섯 팀이 대회에 참가해요. 각 팀은 다른 모든 팀과 정확히 한 번씩 경기해요. 각 경기는 한 팀이 이기고 한 팀이 지며, 비기는 경기는 없어요. 대회가 끝나면 이긴 경기 수로 순위를 매겨요. 가장 많은 승수로 공동 선두가 될 수 있는 팀은 최대 몇 개일까요?
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $6$개 팀이 서로 한 번씩 경기를 하고, 모든 경기에는 승자가 한 팀 있습니다. 각 팀의 승수를 센 뒤, 가장 많은 승수를 함께 나눠 가질 수 있는 팀의 최대 개수를 구합니다.
주어진 것: 팀은 모두 $6$개입니다; 모든 두 팀은 서로 정확히 한 번씩 경기합니다(리그전); 각 경기에는 승자 한 팀과 패자 한 팀만 있습니다(무승부 없음); 팀의 순위는 이긴 경기 수로 매깁니다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$
구하는 것: 가장 높은 승수를 함께 가질 수 있는 팀의 최대 개수
이해
문제 재정리: $6$개 팀이 서로 한 번씩 경기를 하고, 모든 경기에는 승자가 한 팀 있습니다. 각 팀의 승수를 센 뒤, 가장 많은 승수를 함께 나눠 가질 수 있는 팀의 최대 개수를 구합니다.
주어진 것: 팀은 모두 $6$개입니다; 모든 두 팀은 서로 정확히 한 번씩 경기합니다(리그전); 각 경기에는 승자 한 팀과 패자 한 팀만 있습니다(무승부 없음); 팀의 순위는 이긴 경기 수로 매깁니다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기, #1 그림 그리기
최댓값을 묻는 문제이므로 도구 #14(극단의 원리)가 중심입니다. 공동 1위 팀 수를 최대한 밀어올리며 위에서부터 경계를 시험합니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 핵심이 되는 고정된 양, 즉 누가 이기든 변하지 않는 총 승수를 알려 줍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 불가능한 최상위 선택지를 제거하고, 도구 #1(그림 그리기)은 실제 승패 표를 만들어 남은 값이 정말 가능함을 증명합니다.
실행 — 정답: D
4.NBT.B.5 단계 1 총 승수 세기
- $6$개 팀에서 두 팀씩 골라 한 번씩 경기합니다.
- 각 팀은 다른 $5$개 팀과 겨루므로 $6 \times 5 = 30$이 되지만, 이는 경기마다 두 번씩(팀별로 한 번씩) 센 것이라 실제 경기 수는 $30 \div 2 = 15$입니다.
- 경기마다 승리가 하나씩 생기므로 여섯 팀이 얻는 총 승수는 언제나 $15$입니다.
💡 경기마다 승리가 하나씩 만들어지므로, 승리 더미의 크기는 누가 이기든 경기 수에 고정됩니다.
5.NF.B.3 단계 2 여섯 팀 공동 1위 배제
- 만약 $6$개 팀 모두 동률이라면 $15$승을 똑같이 나눠야 하므로 팀마다 $15 \div 6 = 2.5$승입니다.
- 팀이 반 경기를 이길 수는 없으니 여섯 팀 균등 분배는 불가능합니다.
- 선택지 (E) $6$은 제외됩니다.
💡 고정된 총합이 딱 나눠떨어져야 동률이 되는데, $15$는 $6$으로 나눠떨어지지 않습니다.
4.OA.A.3 단계 3 다섯 팀까지 밀어올리기
- 한 단계 아래 값인 $5$개 팀 동률을 시도합니다.
- 이 다섯 팀에 각각 $3$승씩 주면 $5 \times 3 = 15$로 승리 더미를 정확히 다 씁니다.
- 그러면 남은 여섯째 팀은 $15 - 15 = 0$승이 되어 $3$보다 낮으니, 그 다섯 팀이 진짜 최상위입니다.
- 수가 딱 맞으므로 원리상 $5$가 가능합니다.
💡 최상위 동률 팀 수의 한계는, 총 승수를 짜내어 남는 한 팀에게 가장 적은 승수를 남기는 데서 정해집니다.
4.OA.C.5 단계 4 실제로 되는 표 만들기
- 실제로 만들어 봅니다.
- 팀 $6$이 모든 경기를 지도록 하면, 나머지 다섯 팀은 팀 $6$을 이겨 이미 $1$승씩 얻습니다.
- 이 다섯 팀끼리는 $10$경기를 하는데, $1$부터 $5$까지 원 위에 놓고 각 팀이 시계 방향으로 다음 두 팀을 이기게 합니다.
- 그러면 다섯 팀 각각이 이 중 정확히 $2$경기를 이겨 $1 + 2 = 3$승이 되고, 팀 $6$은 $0$승에 머뭅니다.
- 다섯 팀이 $3$승으로 동률이니 최대는 $5$, 선택지 (D)입니다.
💡 원을 따라 "다음 두 팀을 이긴다"는 반복 규칙이 다섯 팀에게 승리를 완벽하게 고르게 나눠 줍니다.
4.NBT.B.5 $6$개 팀에서 두 팀씩 골라 한 번씩 경기합니다. 각 팀은 다른 $5$개 팀과 겨루므로 $6 \times 5 = 30$이 되지만, 이는 경기마 5.NF.B.3 만약 $6$개 팀 모두 동률이라면 $15$승을 똑같이 나눠야 하므로 팀마다 $15 \div 6 = 2.5$승입니다. 팀이 반 경기를 이길 수는 4.OA.A.3 한 단계 아래 값인 $5$개 팀 동률을 시도합니다. 이 다섯 팀에 각각 $3$승씩 주면 $5 \times 3 = 15$로 승리 더미를 정확히 다 4.OA.C.5 실제로 만들어 봅니다. 팀 $6$이 모든 경기를 지도록 하면, 나머지 다섯 팀은 팀 $6$을 이겨 이미 $1$승씩 얻습니다. 이 다섯 팀끼리는 검토
합리성 확인: 구성이 앞뒤가 맞습니다. $3$승 팀 $5$개와 $0$승 팀 $1$개를 더하면 $5 \times 3 + 0 = 15$로, 필요한 총 승수 $15$와 정확히 일치합니다. 최상위 승수 $3$은 남은 팀의 $0$보다 크므로 다섯 팀이 진짜 1위를 나눠 가지며, $15$가 $6$의 배수가 아니어서 여섯 팀은 배제됩니다. 따라서 $5$는 가능하면서도 가장 큰 값이므로 (D)가 확인됩니다.
대안 접근: 최상위 선택지부터 지워 나가는 방법도 있습니다. $15/6$이 자연수가 아니라 $6$은 실패하고, $5$의 경우 각 상위 팀을 $3$승으로 맞추면($5 \times 3 = 15$) 여섯째 팀이 $0$승으로 밀려 실현되므로, 더 큰 동률을 이미 만든 이상 $4$, $3$, $2$는 확인할 필요조차 없습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.NBT.B.5Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (경기와 승수 세기: $6 \times 5 = 30$ 뒤 반으로 나눠 $15$, 그리고 $5 \times 3 = 15$ 확인.)5.NF.B.3Interpret a fraction as division of the numerator by the denominator ($15 \div 6 = 2.5$를 자연수가 아닌 몫으로 읽어 여섯 팀 동률이 불가능함을 증명.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (총 승수 맞추기($5 \times 3 = 15$, $0$이 남음)로 다섯 팀 동률이 고정된 총합에 들어맞음을 확인.)4.OA.C.5Generate a number or shape pattern following a given rule (원을 따라 "다음 두 팀을 이긴다"는 반복 규칙으로 다섯 팀에게 승수를 고르게 배분.)
⭐ 승수의 합은 고정되어 있으니, 최상위에서 동률이 될 수 있는 팀 수는 그 고정된 합이 여전히 고르게 나눠지는 만큼입니다.
⭐ 승수의 합은 고정되어 있으니, 최상위에서 동률이 될 수 있는 팀 수는 그 고정된 합이 여전히 고르게 나눠지는 만큼입니다.
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