AMC 10 · 2011 · #3
학년 5 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제가 최솟값을 물으므로 도구 #14(극단의 원리)가 풀이의 중심이다. 각 변의 길이를 표시 범위가 허용하는 가장 작은 값까지 밀어붙인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 조각으로 나눈다. 먼저 각 변이 될 수 있는 가장 작은 값을 찾고, 그다음 곱한다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 인치 × 인치가 제곱인치가 됨을 확인하여, 우리가 구한 값이 실제로 넓이임을 보장한다.
각 변의 최솟값 찾기
표시값은 0.5인치까지 어긋날 수 있으니 각 변의 실제 최솟값은 1.5인치와 2.5인치이다.
타일을 가장 작게 만들려면 모든 변을 표시가 허용하는 가장 낮은 값까지 줄인다.
5.NBT.B.7Extreme Principle가장 작은 변들이 가장 작은 넓이를 만든다
넓이는 두 양수의 곱이므로, 두 변이 모두 최솟값일 때 넓이가 가장 작다.
더 작은 수를 곱하면 결과는 항상 작아지므로, 가장 작은 두 변이 가장 작은 넓이를 만든다.
더 작은 수를 곱하면 결과가 언제나 줄어들므로, 가장 작은 변이 가장 작은 넓이를 준다.
▸ 왜?
한 변이 정해져 있으면 넓이는 다른 변에 발맞추어 오르내린다.
▸ 왜?
한 변을 줄이고 다른 변도 줄이면 걸음마다 넓이가 커지지 않으므로, 바닥에 닿는다.
최소 넓이 세우기
그러므로 최소 넓이는 1.5인치 × 2.5인치이고, 인치 × 인치는 넓이답게 제곱인치가 된다.
직사각형의 넓이는 두 변의 길이를 곱한 것일 뿐이다.
4.MD.A.3Analyze The Units소수 곱하기
쪼개서 계산하면 1.5×2.5=1.5×2+1.5×0.5=3+0.75=3.75제곱인치, 곧 선택지 (A)이다.
곱셈을 정수 부분과 반(0.5) 부분으로 나눈 뒤 더한다.
5.NBT.B.7Analyze The Units곱을 가능한 한 작게 만들려면, 곱하는 각 값을 허용되는 만큼 최대한 작게 만든다.
- 각 변의 최솟값 찾기
- 가장 작은 변들이 가장 작은 넓이를 만든다
- 최소 넓이 세우기
- 소수 곱하기