AMC 10 · 2015 · #7

쉬운 모드 학년 4

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문제

$13$ 에서 시작해서 $3$ 씩 계속 더해요. 그러면 $13$ , $16$ , $19$ , 이렇게 이어지다가 $70$ 을 지나 $73$ 까지 가요. 이 목록에는 숫자가 모두 몇 개 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 각 항이 앞 항보다 $3$ 씩 큰 수열 $13, 16, 19, \dotsc, 70, 73$ 에 항이 모두 몇 개 있는지 세세요.

주어진 것: 수열은 $13$ 에서 시작하여 $73$ 에서 끝납니다; 각 항은 앞 항보다 $3$ 만큼 큽니다; 선택지: (A) $20$, (B) $21$, (C) $24$, (D) $60$, (E) $61$

구하는 것: 수열의 항의 개수

이해

문제 재정리: 각 항이 앞 항보다 $3$ 씩 큰 수열 $13, 16, 19, \dotsc, 70, 73$ 에 항이 모두 몇 개 있는지 세세요.

주어진 것: 수열은 $13$ 에서 시작하여 $73$ 에서 끝납니다; 각 항은 앞 항보다 $3$ 만큼 큽니다; 선택지: (A) $20$, (B) $21$, (C) $24$, (D) $60$, (E) $61$

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기

$13, 16, 19, \dotsc$ 같은 낯선 수열은 한눈에 세기 어려우므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 누구나 한눈에 셀 수 있는 수열로 바꿉니다. 먼저 도구 #5(패턴 찾기)로 간격이 $3$ 으로 일정함을 알아냅니다. 그다음 모든 항을 아래로 옮기고 간격으로 나누면 수열이 $0, 1, 2, \dotsc, 20$ 으로 바뀌어 개수가 한눈에 보입니다. 모양을 바꿔도 항의 개수는 변하지 않습니다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

일정한 간격 찾기

항이 어떻게 늘어나는지 봅니다: $16 - 13 = 3$, $19 - 16 = 3$.
모든 항이 앞 항보다 정확히 $3$ 만큼 크므로, 이것은 간격이 $3$ 인 등차수열입니다.

$$16 - 13 = 3,\quad 19 - 16 = 3$$

💡 수열은 매번 뛰는 일정한 양 하나만 알면 다루기가 가장 쉬워집니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.4 단계 2

수열을 0에서 시작하게 옮기기

모든 항에서 $13$ 을 뺍니다.
양 끝은 $13 - 13 = 0$ 과 $73 - 13 = 60$ 이 되어 수열이 $0, 3, 6, \dotsc, 60$ 으로 바뀝니다.
모든 항을 같은 양만큼 내려도 항이 더해지거나 사라지지 않습니다.

$$13 - 13 = 0,\quad 73 - 13 = 60$$

💡 모든 수를 같은 양만큼 옮기는 것은 의자 한 줄을 옆으로 미는 것과 같아서 개수는 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.6 단계 3

모든 항을 3으로 나누기

이제 $0, 3, 6, \dotsc, 60$ 의 각 항을 간격 $3$ 으로 나눕니다.
양 끝은 $0 \div 3 = 0$ 과 $60 \div 3 = 20$ 이 되어 수열이 $0, 1, 2, \dotsc, 20$ 으로 바뀝니다.
모든 항을 같은 비율로 줄여도 항의 개수는 그대로입니다.

$$0 \div 3 = 0,\quad 60 \div 3 = 20$$

💡 간격을 $1$ 크기로 좁히면 항들이 이미 아는 자연수와 나란히 맞춰집니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.4 단계 4

0부터 20까지 자연수 세기

바뀐 수열은 $0$ 부터 $20$ 까지의 모든 자연수입니다.
$0$ 에서 $20$ 까지 세면 $20 - 0 = 20$ 칸이지만, 시작 수 $0$ 도 한 항이므로 칸 수보다 항이 하나 더 많습니다: $20 + 1 = 21$.
따라서 답은 (B)입니다.

$$20 - 0 = 20,\quad 20 + 1 = 21 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 간격이 아니라 말뚝을 세는 것입니다: 말뚝 사이 간격이 $20$ 칸이면 양 끝까지 세어 말뚝은 $21$ 개입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 항이 어떻게 늘어나는지 봅니다: $16 - 13 = 3$, $19 - 16 = 3$. 모든 항이 앞 항보다 정확히 $3$ 만큼 크므로, 이것은

[2] #9 4.NBT.B.4 모든 항에서 $13$ 을 뺍니다. 양 끝은 $13 - 13 = 0$ 과 $73 - 13 = 60$ 이 되어 수열이 $0, 3, 6, \dotsc

[3] #9 4.NBT.B.6 이제 $0, 3, 6, \dotsc, 60$ 의 각 항을 간격 $3$ 으로 나눕니다. 양 끝은 $0 \div 3 = 0$ 과 $60 \div 3

[4] #5 4.NBT.B.4 바뀐 수열은 $0$ 부터 $20$ 까지의 모든 자연수입니다. $0$ 에서 $20$ 까지 세면 $20 - 0 = 20$ 칸이지만, 시작 수 $0$

검토

합리성 확인: 하나 빗나가는 실수가 없는지 작은 예로 확인합니다: $13, 16, 19$ 는 간격이 $3$, 차이가 $19 - 13 = 6$ 이므로 $6 \div 3 = 2$ 칸, $2 + 1 = 3$ 항 — 눈에 보이는 세 항과 맞습니다. 같은 규칙을 전체 수열에 적용하면 $21$ 이므로, (D) $60$ 과 (E) $61$ (순수한 차이와 차이에 $1$ 더한 값)은 함정이고, (A) $20$ 은 첫 항을 빼먹은 것입니다.

대안 접근: 등차수열의 일반항 공식을 바로 씁니다: $n$ 번째 항은 $13 + (n-1)\times 3$ 입니다. 이를 마지막 항 $73$ 과 같게 놓으면 $13 + (n-1)\times 3 = 73$, 즉 $(n-1)\times 3 = 60$ 이므로 $n - 1 = 20$, $n = 21$ — 똑같이 답은 (B)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만든다 (등차수열을 정의하는 일정한 간격 $3$ 을 알아내는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 ($73 - 13 = 60$ 으로 양 끝을 옮기고 $20 + 1 = 21$ 로 세기를 마무리하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수의 자연수 몫과 나머지를 구한다 (옮긴 끝값 $60 \div 3 = 20$ 을 나누어 수열을 $0, 1, \dotsc, 20$ 으로 다시 맞추는 데 사용.)

⭐ 간격이 일정한 수열을 셀 때는 처음과 끝의 차이를 간격으로 나눈 뒤, 시작한 항을 위해 $1$ 을 더합니다.