AMC 10 · 2015 · #7

학년 4 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
sequences-arithmetic formula-substitution ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
각 항이 앞 항보다 3 씩 큰 수열 13, 16, 19, …, 70, 73 에 항이 모두 몇 개 있는지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
20
(B)
21
(C)
24
(D)
60
(E)
61

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

13, 16, 19, …c 같은 낯선 수열은 한눈에 세기 어려우므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 누구나 한눈에 셀 수 있는 수열로 바꿉니다. 먼저 도구 #5(패턴 찾기)로 간격이 3으로 일정함을 알아냅니다. 그다음 모든 항을 아래로 옮기고 간격으로 나누면 수열이 0, 1, 2, …c, 20으로 바뀌어 개수가 한눈에 보입니다. 모양을 바꿔도 항의 개수는 변하지 않습니다.

1STEP 1

일정한 간격 찾기

항은 일정하게 늘어납니다: 16 - 13 = 3, 19 - 16 = 3.

16 - 13 = 3, 19 - 16 = 3
2STEP 2

수열을 0에서 시작하게 옮기기

모든 항에서 13을 빼면 수열은 0, 3, 6, …, 60이 됩니다.

13 - 13 = 0, 73 - 13 = 60
3STEP 3

모든 항을 3으로 나누기

모든 항을 3으로 나누면 간단한 수열 0, 1, 2, …, 20이 됩니다.

0 ÷ 3 = 0, 60 ÷ 3 = 20
4STEP 4

0부터 20까지 자연수 세기

양 끝을 모두 세면 항수 = 20 + 1 = 21 — 선택지 (B).

20 - 0 = 20, 20 + 1 = 21 → (B)
정답
21
하나 빗나가는 실수가 없는지 작은 예로 확인합니다: 13, 16, 19는 간격이 3, 차이가 19 - 13 = 6 이므로 6 ÷ 3 = 2 칸, 2 + 1 = 3 항 — 눈에 보이는 세 항과 맞습니다. 같은 규칙을 전체 수열에 적용하면 21 이므로, (D) 60과 (E) 61 (순수한 차이와 차이에 1 더한 값)은 함정이고, (A) 20은 첫 항을 빼먹은 것입니다.
💡핵심 정리

간격이 일정한 수열을 셀 때는 처음과 끝의 차이를 간격으로 나눈 뒤, 시작한 항을 위해 1을 더합니다.

  • 일정한 간격 찾기
  • 수열을 0에서 시작하게 옮기기
  • 모든 항을 3으로 나누기
  • 0부터 20까지 자연수 세기

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