AMC 10 · 2015 · #3
쉬운 모드 학년 4아이작은 어떤 수를 두 번 적고, 다른 수를 세 번 적습니다. 그러면 모두 다섯 개의 수가 됩니다. 다섯 수를 더하면 100입니다. 그 중 한 수는 28입니다. 다른 수는 무엇일까요?
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AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Isaac은 어떤 정수를 두 번, 다른 정수를 세 번 적어서 모두 다섯 개의 수를 만들었습니다. 이 다섯 수의 합은 $100$ 이고, 두 정수 중 하나는 $28$ 입니다. 나머지 정수의 값을 구하세요.
주어진 것: 한 정수를 $2$ 번, 다른 정수를 $3$ 번 적어 — 모두 다섯 개의 수.; 다섯 수의 합은 $100$.; 두 정수 중 하나는 $28$.; 선택지: (A) $8$, (B) $11$, (C) $14$, (D) $15$, (E) $18$
구하는 것: $28$ 이 아닌 나머지 정수의 값.
이해
문제 재정리: Isaac은 어떤 정수를 두 번, 다른 정수를 세 번 적어서 모두 다섯 개의 수를 만들었습니다. 이 다섯 수의 합은 $100$ 이고, 두 정수 중 하나는 $28$ 입니다. 나머지 정수의 값을 구하세요.
주어진 것: 한 정수를 $2$ 번, 다른 정수를 $3$ 번 적어 — 모두 다섯 개의 수.; 다섯 수의 합은 $100$.; 두 정수 중 하나는 $28$.; 선택지: (A) $8$, (B) $11$, (C) $14$, (D) $15$, (E) $18$
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #4 변수 도입하기
$28$ 이 두 번 반복된 수인지 세 번 반복된 수인지 주어지지 않았으므로, 가능한 설정은 단 두 가지뿐입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 두 설정을 각각 시험해, 자연수가 나올 수 없는 쪽을 지워서 유효한 답 하나만 남깁니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 모르는 정수를 $x$ 로 이름 붙여, 각 경우가 그 값을 무엇으로 강제하는지 추적하게 합니다. 결정적인 단서는 나머지 정수가 자연수로 떨어져야 한다는 것 — 두 경우 중 하나만이 그 시험을 통과합니다.
실행 — 정답: A
4.OA.A.3 단계 1 미지수를 정하고 두 경우 나열하기
- 나머지 정수를 $x$ 라 합시다.
- 다섯 수는 $28$ 들과 $x$ 들로 이루어집니다.
- $28$ 은 두 번 또는 세 번 반복되므로 경우는 정확히 두 가지입니다: 경우 A — $28$ 이 세 번, $x$ 가 두 번; 경우 B — $28$ 이 두 번, $x$ 가 세 번.
- 두 경우 모두 다섯 수의 합은 $100$ 이어야 합니다.
💡 다섯 자리를 $28$ 과 $x$ 에 나누는 방법은 두 가지뿐이라, 둘 다 확인하면 모든 경우를 덮습니다.
4.NBT.B.5 단계 2 경우 A 시험: 28 이 세 번
- $28$ 이 세 번 나오면 그 세 수의 합은 $3\cdot 28 = 84$ 입니다.
- 나머지 두 수는 모두 $x$ 이고 그 나머지를 채워야 합니다: $100 - 84 = 16$.
- 같은 두 수의 합이 $16$ 이면 각각은 $16 \div 2 = 8$ — 자연수입니다.
- 이 경우는 성립하며 $x = 8$ 을 줍니다.
💡 세 수가 정해지면, 남은 합은 마지막 두 수에 똑같이 나눠 가져야 합니다.
4.NBT.B.6 단계 3 경우 B 시험, 지우고, 답 읽기
- $28$ 이 두 번 나오면 그 두 수의 합은 $2\cdot 28 = 56$ 이고, 같은 세 $x$ 값에 $100 - 56 = 44$ 가 남습니다.
- 그러나 $44 \div 3$ 은 자연수가 아닙니다($3\cdot 14 = 42$, $3\cdot 15 = 45$).
- 따라서 $x$ 는 정수가 될 수 없습니다.
- 경우 B 는 불가능하므로 지워집니다.
- 경우 A 만 남으므로 나머지 정수는 $8$ 입니다.
- 따라서 답은 (A).
💡 남은 양을 같은 자연수 조각으로 나눌 수 없다면, 그 경우는 일어날 수 없습니다.
4.OA.A.3 나머지 정수를 $x$ 라 합시다. 다섯 수는 $28$ 들과 $x$ 들로 이루어집니다. $28$ 은 두 번 또는 세 번 반복되므로 경우는 정확히 4.NBT.B.5 $28$ 이 세 번 나오면 그 세 수의 합은 $3\cdot 28 = 84$ 입니다. 나머지 두 수는 모두 $x$ 이고 그 나머지를 채워야 합니다 4.NBT.B.6 $28$ 이 두 번 나오면 그 두 수의 합은 $2\cdot 28 = 56$ 이고, 같은 세 $x$ 값에 $100 - 56 = 44$ 가 남습니다 검토
합리성 확인: 이긴 경우를 직접 확인합니다: 다섯 수는 $28, 28, 28, 8, 8$ 이고 $28+28+28+8+8 = 84 + 16 = 100$ 입니다. 주어진 합과 일치하고, 수 중 하나는 요구대로 $28$ 이며, 반복되는 두 값 모두 정수입니다. 답 $8$ 도 선택지 안에 있습니다.
대안 접근: 대수로 한 줄에 세웁니다. $28$ 은 반드시 세 번 반복되는 값이어야 하므로(다른 역할은 정수를 주지 못함) $3(28) + 2x = 100$ 으로 씁니다. 그러면 $2x = 100 - 84 = 16$ 이므로 $x = 8$ — 답은 같게 (A).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.A.3네 가지 연산을 사용해 자연수 여러 단계 문장제 풀기 (문장제를 합이 $100$ 이 되어야 하는 $28$ 들과 $x$ 들의 두 가지 배치로 바꾸는 데 사용.)4.NBT.B.5최대 네 자리 자연수와 한 자리 자연수의 곱셈 계산하기 ($3\cdot 28 = 84$ 를 계산하고 남은 $16$ 을 나누어 유효한 경우에서 $x = 8$ 을 찾는 데 사용.)4.NBT.B.6자연수 몫과 나머지 구하기 ($44 \div 3$ 을 나눠 나머지가 남음을 보고, 두 번째 경우가 정수를 줄 수 없어 지워져야 함을 증명하는 데 사용.)
⭐ 어떤 수가 어느 자리에 들어가는지 모를 때는 모든 경우를 시험해 보고, 자연수로 딱 떨어지는 것만 남기세요.
⭐ 어떤 수가 어느 자리에 들어가는지 모를 때는 모든 경우를 시험해 보고, 자연수로 딱 떨어지는 것만 남기세요.
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