AMC 10 · 2016 · #6

쉬운 모드 학년 4

문제

쉬운 버전 문제

로라는 세 자리 수 두 개를 더합니다. 이때 사용한 여섯 개의 숫자는 모두 서로 다릅니다. 더한 답도 세 자리 수이고, 이 수를 $S$ 라고 합니다. 이제 $S$ 의 세 자리 숫자를 모두 더합니다. 이 숫자들의 합이 될 수 있는 가장 작은 값은 얼마일까요?

$\textbf{(A)}\ 1\qquad\textbf{(B)}\ 4\qquad\textbf{(C)}\ 5\qquad\textbf{(D)}\ 15\qquad\textbf{(E)}\ 20$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 자리 수 두 개를 더합니다. 두 수에 쓰인 여섯 개의 숫자는 모두 서로 다릅니다. 그 합 $S$도 세 자리 수입니다. $S$의 각 자리 숫자의 합이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요.

주어진 것: 세 자리 양의 정수 두 개를 더한다; 두 수에 쓰인 여섯 개의 숫자는 모두 서로 다르다; 합 $S$는 세 자리 수이다; 선택지: (A) $1$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $15$, (E) $20$

구하는 것: $S$의 각 자리 숫자의 합의 최솟값

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기

최솟값을 묻는 문제이므로 도구 #14 (극단의 원리)를 씁니다: 답이 얼마나 작아질 수 있는지 한계를 정하고, 그 작은 값이 실제로 도달 가능함을 보입니다. 두 부분입니다. 먼저 단단한 바닥을 찾습니다: 두 백의 자리 숫자는 서로 다르고 각각 $1$ 이상이므로, 합 $S$는 너무 작아질 수 없습니다. 이 바닥 덕분에 도구 #3 (가능성 지우기)으로 자리 숫자 합 $1$, $2$, $3$을 지웁니다. 다음으로 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 자리 숫자 합이 $4$인 합을 만드는 구체적인 두 수를 찾아, $4$가 도달 가능함을 증명합니다. 한계와 그에 들어맞는 예시가 함께 있으면 최솟값이 정확히 정해집니다.

실행 — 정답: B

#14 극단의 원리 4.NBT.A.2 단계 1

S는 얼마나 작아질 수 있나

각 수는 세 자리이므로 백의 자리 숫자는 각각 $1$ 이상입니다.
두 백의 자리 숫자는 서로 달라야 하므로, 가장 작아도 $1$과 $2$입니다.
따라서 두 백의 자리 숫자의 합은 최소 $3$이고, 두 수의 합은 최소 $300$입니다.
그러므로 $S$는 $300$ 이상입니다.

$$h_1 \ne h_2,\ h_1,h_2 \ge 1 \Rightarrow h_1 + h_2 \ge 1 + 2 = 3 \Rightarrow S \ge 300$$

💡 서로 다른 두 개의 $0$이 아닌 백의 자리 숫자는 가장 작아야 $1$과 $2$이고, 이것만으로도 합이 $300$대로 끌어올려집니다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.A.1 단계 2

자리 숫자 합 1, 2, 3 지우기

$S \ge 300$이고 $S$는 세 자리 수이므로, 백의 자리 숫자는 $3$ 이상입니다.
$300$ 이상인 모든 세 자리 수 중에서 자리 숫자의 합이 $3$ 이하인 것은 $300$ 하나뿐입니다.
그런데 $S = 300$이 되려면 십의 자리 칸과 일의 자리 칸이 각각 합이 $0$이어야 하고, 이는 두 수의 십의 자리 숫자가 모두 $0$ (일의 자리도 마찬가지)이어야 함을 강요합니다 — 숫자가 겹치므로 허용되지 않습니다.
따라서 $S$의 자리 숫자 합은 $1$, $2$, $3$이 될 수 없습니다.

$$S \ge 300,\ \text{자리 숫자 합} \le 3 \Rightarrow S = 300,\ \text{하지만 } 300 \text{은 } 0 \text{을 겹쳐 써야 함} \Rightarrow \text{불가능}$$

💡 $S$의 모든 자리를 아주 작게 만들려면 $0$ 위에 $0$을 쌓아야 하는데, 모두 다르다는 규칙이 $0$을 두 번 쓰는 것을 막습니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.4 단계 3

자리 숫자 합이 4인 합 만들기

이제 $4$가 도달 가능함을 보입니다.
$104 + 296$을 시도해 봅시다.
쓰인 여섯 숫자는 $1, 0, 4$와 $2, 9, 6$으로 모두 다릅니다.
합은 $104 + 296 = 400$이고, 자리 숫자의 합은 $4 + 0 + 0 = 4$입니다.
$4$가 도달 가능하고 $1$, $2$, $3$은 이미 지웠으므로, $S$의 자리 숫자 합의 최솟값은 $4$입니다.
답은 (B)입니다.

$$104 + 296 = 400,\quad 4 + 0 + 0 = 4 = \textbf{(B)}$$

💡 받아올림 덕분에 십의 자리와 일의 자리 칸이 $0$으로 넘어가서, 셀 것은 백의 자리 숫자 하나만 남습니다.

[1] #14 4.NBT.A.2 각 수는 세 자리이므로 백의 자리 숫자는 각각 $1$ 이상입니다. 두 백의 자리 숫자는 서로 달라야 하므로, 가장 작아도 $1$과 $2$입니다.

[2] #3 2.NBT.A.1 $S \ge 300$이고 $S$는 세 자리 수이므로, 백의 자리 숫자는 $3$ 이상입니다. $300$ 이상인 모든 세 자리 수 중에서 자리 숫자

[3] #6 4.NBT.B.4 이제 $4$가 도달 가능함을 보입니다. $104 + 296$을 시도해 봅시다. 쓰인 여섯 숫자는 $1, 0, 4$와 $2, 9, 6$으로 모두

검토

합리성 확인: 예시 $104 + 296 = 400$은 직접 더해 보면 맞고, 여섯 숫자 $\{0,1,2,4,6,9\}$는 모두 다르며, $400$은 자리 숫자 합이 $4$인 세 자리 수입니다. 한계는 $4$보다 작은 값은 불가능하다고 말하고, 예시는 정확히 $4$에 도달하므로 두 부분이 일치합니다. 틀린 선택지도 이야기에 들어맞습니다: $(A)\,1$은 $S \ge 300$이므로 불가능하고, $(D)\,15$와 $(E)\,20$은 필요한 것보다 훨씬 큽니다.

대안 접근: $9$로 나눈 나머지를 이용합니다: 어떤 수와 그 수의 자리 숫자 합은 $9$로 나누면 같은 나머지를 남깁니다. 자리 숫자 합 $4$를 얻으려면 $S \equiv 4 \pmod 9$여야 하고, $S$는 두 수의 합이므로 여섯 개의 더하는 숫자의 총합이 $9$의 배수보다 $4$ 큰 값이어야 합니다. 숫자 $\{0,1,2,4,6,9\}$의 합은 $22 \equiv 4 \pmod 9$로 $S = 400$과 일치합니다. 이로써 $4$가 모순 없이 도달 가능함이 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.A.2 Read and write multi-digit whole numbers and compare using symbols (서로 다른 두 개의 $0$이 아닌 백의 자리 숫자가 최소 $1$과 $2$이므로 $S \ge 300$임을 추론하는 데 사용.)
2.NBT.A.1 Understand that the three digits of a three-digit number represent hundreds, tens, and ones ($S$의 각 자리를 따로 읽어, 자리 숫자 합 $1$, $2$, $3$이면 $0$이 겹쳐 써져야 함을 보이는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (받아올림과 함께 $104 + 296 = 400$을 더해 자리 숫자 합이 $4$인 합을 만드는 데 사용.)

⭐ 합의 자리 숫자를 작게 만들려면 받아올림으로 칸을 $0$으로 넘기면 되지만, 서로 다른 두 개의 $0$이 아닌 맨 앞 숫자가 합을 $300$대에 묶어 두므로 $4$가 내려갈 수 있는 한계입니다.