AMC 10 · 2017 · #16

쉬운 모드 학년 4

문제

쉬운 버전 문제

원형 트랙에 말 $10$ 마리가 있고, 이름은 말 $1$ 번부터 말 $10$ 번까지입니다. 말 $k$ 번은 한 바퀴를 도는 데 정확히 $k$ 분이 걸립니다. 그래서 말 $1$ 번은 $1$ 분, 말 $2$ 번은 $2$ 분이 걸립니다. 시각 $0$ 에 모든 말이 출발점에서 함께 출발하여 각자 일정한 빠르기로 계속 달립니다.

$10$ 마리 말이 모두 처음으로 다시 출발점에 함께 모이는 시각은 $S = 2520$ 분입니다. 이제 $T$ 를, 적어도 $5$ 마리의 말이 같은 순간에 다시 출발점에 모이는 가장 이른 시각(분)이라고 합시다. $T$ 의 각 자리 숫자를 모두 더하면 얼마일까요?

$\textbf{(A) }2 \qquad \textbf{(B) }3 \qquad \textbf{(C) }4 \qquad \textbf{(D) }5 \qquad \textbf{(E) }6$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 말 $10$마리가 트랙을 돕니다. 말 $k$는 한 바퀴를 정확히 $k$분에 돌아서, 모두 시각 $0$에 함께 출발합니다. 시각 $T$에 어떤 말이 출발점에 돌아와 있으려면 $T$가 그 말의 바퀴 수만큼 정확히 떨어져야 합니다. 적어도 $5$마리가 동시에 출발점에 있는 최소 시각 $T>0$을 구하고, $T$의 각 자리 숫자를 더하세요.

주어진 것: 말은 $10$마리이고, 말 $k$는 한 바퀴에 정확히 $k$분이 걸린다($k=1,2,\dots,10$); 모든 말은 시각 $0$에 출발점에서 함께 떠나 일정한 속도로 계속 달린다; $10$마리가 다시 모두 만나는 시각은 $S=2520$분이라고 주어졌다; $T$는 적어도 $5$마리가 동시에 출발점에 있는 최소 시각이다; 선택지는 $T$의 자릿수 합이다: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: $5$마리 이상이 출발점에 함께 있는 최소 시각 $T>0$; 그 $T$의 각 자리 숫자의 합

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #2 빠짐없이 나열하기

이 문제의 숨은 핵심은 단 하나의 번역입니다: 말 $k$는 $k$분마다 출발점으로 돌아오므로, 시각 $T$에 출발점에 있는 것은 $k$가 $T$를 나누어떨어뜨릴 때뿐입니다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 만나는 시각을 $T$로 이름 붙이면 경주 전체를 나눗셈(약수) 조건으로 다시 쓸 수 있습니다. 그러면 "적어도 $5$마리가 출발점에 있다"는 "$T$가 $1$부터 $10$ 사이 약수를 적어도 $5$개 가진다"가 되고, 그런 최소의 $T$는 도구 #6 (추측하고 확인하기)로 쉽게 찾을 수 있습니다: $T=1,2,3,\dots$을 차례로 시험하며 자격 있는 약수를 세고, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 그 수를 깔끔하게 정리합니다. $10$마리 전부가 아니라 $5$마리만 필요하므로 $T$는 모두 만나는 시각 $S=2520$보다 훨씬 작아, 작은 수를 손으로 확인하는 일은 금방 끝납니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 4.OA.B.4 단계 1

위치를 나눗셈으로 바꾸기

말 $k$는 한 바퀴에 $k$분이 걸리므로 $k, 2k, 3k, \dots$분, 즉 $k$의 모든 배수일 때 출발점에 돌아옵니다.
따라서 시각 $T$에 말 $k$가 출발점에 있는 것은 $T$가 $k$의 배수일 때, 곧 $k$가 $T$를 나누어떨어뜨릴 때입니다.
시각 $T$에 출발점에 있는 말의 수를 세는 일은 $1,2,\dots,10$ 중 $T$를 나누는 수가 몇 개인지 세는 일과 같습니다.

$$\text{시각 } T \text{에 말 } k \text{가 출발점에 있다} \iff k \mid T$$

💡 말은 자기 바퀴가 딱 떨어지는 순간에만 출발선을 만나므로, 돌아오는 시각은 정확히 $k$의 배수입니다.

#4 변수 도입하기 4.OA.A.3 단계 2

목표를 다시 쓰기

"시각 $T$에 적어도 $5$마리가 출발점에 있다"는 이제 $T$가 $1$부터 $10$까지 중 적어도 $5$개로 나누어떨어진다는 뜻 — 곧 $T$가 $1$부터 $10$ 범위의 약수를 적어도 $5$개 가진다는 뜻입니다.
우리는 이 성질을 가진 가장 작은 양의 $T$를 원합니다.
$10$마리 전부가 아니라 $5$마리만 필요하므로 $T$는 모두 만나는 시각 $S=2520$보다 훨씬 작아야 하고, 따라서 작은 수부터 위로 안심하고 탐색할 수 있습니다.

$$\#\{k \in \{1,\dots,10\} : k \mid T\} \ge 5 \text{ 인 최소 } T>0 \text{ 찾기}$$

💡 $5$마리를 요구하는 것은 $T$에게 작은 약수 $5$개를 동시에 지니라는 것 — 오직 약수에 관한 질문입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.C.5 단계 3

위로 탐색하며 약수 세기

$T=1,2,3,\dots$을 시험하고 각각 $1$부터 $10$까지의 약수를 셉니다.
작은 수들은 넷에서 멈춥니다: $T=6$은 $\{1,2,3,6\}$, $T=8$은 $\{1,2,4,8\}$, $T=10$은 $\{1,2,5,10\}$ — 모두 넷뿐입니다.
처음으로 다섯에 도달하는 것은 $T=12$로, 범위 안의 약수는 $\{1,2,3,4,6\}$입니다($12$ 자신은 말 $10$을 넘으므로 세지 않습니다).
$12$ 아래의 모든 $T$가 최대 넷에 그치므로, $T=12$가 적어도 $5$마리가 출발점에 있는 최소 시각입니다.

$$12:\ \{1,2,3,4,6\}\ (\text{약수 }5\text{개}) \quad\text{대}\quad 6,8,10:\ \text{각각 }4\text{개}$$

💡 수를 하나씩 올라가며, 작은 약수가 다섯 말을 먹일 만큼 풍부한 첫 수가 답입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

$T$의 각 자리 숫자 더하기

$5$마리가 만나는 최소 시각은 $T=12$분입니다.
각 자리 숫자는 $1$과 $2$이고, 그 합은 $1+2=3$입니다.
따라서 $T$의 자릿수 합은 $3$이며, 이는 선택지 (B)입니다.

$$T=12 \Rightarrow 1+2=3 \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 시각 자체를 구하고 나면, 자릿수 합은 마지막에 한 번 더하는 일일 뿐입니다.

[1] #4 4.OA.B.4 말 $k$는 한 바퀴에 $k$분이 걸리므로 $k, 2k, 3k, \dots$분, 즉 $k$의 모든 배수일 때 출발점에 돌아옵니다. 따라서 시각

[2] #4 4.OA.A.3 "시각 $T$에 적어도 $5$마리가 출발점에 있다"는 이제 $T$가 $1$부터 $10$까지 중 적어도 $5$개로 나누어떨어진다는 뜻 — 곧 $T

[3] #6 4.OA.C.5 $T=1,2,3,\dots$을 시험하고 각각 $1$부터 $10$까지의 약수를 셉니다. 작은 수들은 넷에서 멈춥니다: $T=6$은 ${1,2,3

[4] #2 4.OA.A.3 $5$마리가 만나는 최소 시각은 $T=12$분입니다. 각 자리 숫자는 $1$과 $2$이고, 그 합은 $1+2=3$입니다. 따라서 $T$의 자릿수

검토

합리성 확인: 답 $T=12$는 모두 만나는 시각 $S=2520$보다 훨씬 작은데, 이는 예상대로입니다: $5$마리만 모으는 일은 $10$마리 전부를 모으는 일보다 훨씬 쉬우므로 시각도 훨씬 짧아야 합니다. 직접 확인하면 $12$가 됩니다 — 말 $1,2,3,4,6$이 모두 $12$분에 출발점에 있습니다 — 그리고 $12$ 아래의 모든 수를 훑어보면 자격 있는 약수가 다섯에 도달하는 수는 없습니다(최선은 $6$, $8$, $10$으로 각각 넷). 숫자 $1$과 $2$의 합은 $3$으로 선택지 (B)와 일치합니다.

대안 접근: 모든 수를 훑는 대신, 작은 약수 다섯 개를 가장 싸게 담는 수 — 즉 약수가 많은 수(highly composite number)를 찾습니다. 전체 약수 개수는 $1,2,4,6,12,\dots$처럼 자라는데, 수 $12$는 약수가 여섯 개($1,2,3,4,6,12$)인 첫 자연수이고 그중 다섯 개가 $1$부터 $10$ 범위에 듭니다. 더 작은 수는 다섯 개에 이르지 못하므로 $T=12$이고 자릿수 합은 $1+2=3$, 역시 (B)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ("말 $k$는 $k$분마다 돌아온다"를 나눗셈 조건 $k \mid T$로 바꾸고, 주어진 $T$를 $1$–$10$ 중 무엇이 나누는지 세는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers ("적어도 $5$마리" 조건을 약수 개수로 다시 쓰고, 마지막에 $T$의 각 자리 숫자를 더해 마무리하는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule ($T=1,2,3,\dots$을 차례로 밟으며 각 값의 자격 있는 약수 개수가 처음으로 다섯에 이를 때까지 추적하는 데 사용.)

⭐ 말은 시계가 자기 번호의 배수가 될 때마다 출발점에 돌아오니, $5$마리가 만나는 때를 찾는 것은 작은 약수 $5$개를 가진 가장 작은 시각을 찾는 것 — 그게 $12$이고, 자릿수 합은 $3$입니다.