AMC 10 · 2017 · #2

쉬운 모드 학년 4

문제

쉬운 버전 문제

파블로는 $8$로 팝시클을 최대한 많이 사려고 합니다. 가게에서는 세 가지 방법으로 팝니다. 팝시클 한 개는$ 1 $, 팝시클$ 3 $개가 든 상자는$ $2$ , 팝시클 $5$ 개가 든 상자는 $$3$입니다. 파블로가 살 수 있는 팝시클의 최대 개수는 몇 개일까요?

$\textbf{(A)}\ 8\qquad\textbf{(B)}\ 11\qquad\textbf{(C)}\ 12\qquad\textbf{(D)}\ 13\qquad\textbf{(E)}\ 15$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 파블로는 아이스바를 사는 데 $\$8$를 쓸 수 있다. 가게는 세 가지로 판다: 낱개 아이스바 $1$개에 $\$1$, 아이스바 $3$개들이 상자에 $\$2$, 아이스바 $5$개들이 상자에 $\$3$. $\$8$ 이하로 쓸 때 살 수 있는 아이스바의 최대 총개수를 구하라.

주어진 것: 낱개 아이스바는 $\$1$이고 $1$개를 준다; 한 상자는 $\$2$이고 $3$개를 준다; 한 상자는 $\$3$이고 $5$개를 준다; 파블로는 $\$8$를 쓸 수 있다

구하는 것: $\$8$로 살 수 있는 아이스바의 최대 개수

이해

주어진 것: 낱개 아이스바는 $\$1$이고 $1$개를 준다; 한 상자는 $\$2$이고 $3$개를 준다; 한 상자는 $\$3$이고 $5$개를 준다; 파블로는 $\$8$를 쓸 수 있다

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #6 추측하고 확인하기

도구 #14 (극단의 원리): 문제가 아이스바의 최대 개수를 묻고 있으므로, 1달러당 아이스바가 가장 많은 쪽으로 밀어붙이고 모든 달러를 다 쓴다. 도구 #8 (단위 살펴보기): 정말 중요한 것은 1달러당 아이스바 개수이므로, 사기 전에 세 가지 거래를 같은 기준에서 비교한다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): 가장 좋은 조합을 만든 뒤, $\$8$를 나눠 쓰는 다른 방법 몇 가지를 시험해 더 많은 경우가 없는지 확인한다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.5 단계 1

세 가지 거래 비교하기

어느 포장이 가장 이득인지 보려면 같은 금액에 맞춰 거래들을 나란히 놓는다.
$\$6$를 보자: 낱개로는 $6$개, $\$2$ 상자로는 세 상자를 사서 $3\times3=9$개, $\$3$ 상자로는 두 상자를 사서 $2\times5=10$개다. 같은 $\$6$에서 $5$개들이 상자가 가장 많이 주므로 그것이 가장 좋은 거래다.

$\$6:\; 6 \text{ vs } 3\times3=9 \text{ vs } 2\times5=10$

💡 같은 가격표에서 거래를 견주면 어느 것이 1달러를 가장 멀리 늘리는지 보인다.

#14 극단의 원리 4.NBT.B.4 단계 2

가장 좋은 상자를 최대한 사기

$5$개들이 상자는 하나에 $\$3$다. 두 개는 $2\times\$3=\$6$이고 $2\times5=10$개를 주며, $\$8-\$6=\$2$가 남는다.
세 번째 상자는 다시 $\$3$가 들지만 남은 돈은 $\$2$뿐이므로, 두 상자가 살 수 있는 최대다.

$2\times\$3=\$6 \Rightarrow 10 \text{ 개},\ \$8-\$6=\$2$

💡 가장 좋은 거래를 먼저 가득 채우면 대부분의 돈에서 가장 많은 아이스바를 짜낸다.

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.4 단계 3

남은 2달러 알뜰하게 쓰기

$\$2$만 남았다. $\$2$로는 $3$개들이 상자 하나($3$개)나 낱개 두 개($2$개)를 살 수 있다.
상자가 더 많으므로 그것을 더한다: 총 $10+3=13$개이고, 모든 달러를 다 썼다.

$\$2:\; 3 \text{ vs } 2 \Rightarrow 10+3=13$

💡 남은 돈조차도 1달러당 아이스바가 더 많은 쪽에 써야 한다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 4

13을 넘는 조합 없는지 확인

$\$8$를 쓰는 다른 방법을 시험하자. $3$개들이 상자 네 개는 $\$8$이고 $4\times3=12$개를 준다.
$5$개 상자 하나와 $3$개 상자 두 개는 $\$3+\$4=\$7$이고 $5+6=11$개를 주며, $\$1$이 남아 낱개 $1$개를 더 사면 다시 $12$개다.
어느 것도 $13$에 못 미치므로 $13$이 최대이고, 이는 보기 $\textbf{(D)}$다.

$$4\times3=12,\ 5+6+1=12,\ \text{최대}=13 \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 자연스러운 경쟁 조합을 시험해 보면 가장 좋은 조합이 정말 가장 큰지 확인된다.

[1] #8 4.NBT.B.5 어느 포장이 가장 이득인지 보려면 같은 금액에 맞춰 거래들을 나란히 놓는다. $\$6$를 보자: 낱개로는 $6$개, $\$2$ 상자로는 세 상자

[2] #14 4.NBT.B.4 $5$개들이 상자는 하나에 $\$3$다. 두 개는 $2\times\$3=\$6$이고 $2\times5=10$개를 주며, $\$8-\$6=\$2$

[3] #8 4.NBT.B.4 $\$2$만 남았다. $\$2$로는 $3$개들이 상자 하나($3$개)나 낱개 두 개($2$개)를 살 수 있다. 상자가 더 많으므로 그것을 더한다

[4] #6 4.OA.A.3 $\$8$를 쓰는 다른 방법을 시험하자. $3$개들이 상자 네 개는 $\$8$이고 $4\times3=12$개를 준다. $5$개 상자 하나와 $3

검토

합리성 확인: 답은 모두 낱개로 산 개수를 넘어야 한다: $\$8$어치 낱개는 $8$개뿐이고 $13>8$이므로 상자가 분명히 도움이 됐다. 또 완벽한 꿈의 비율 아래에 있어야 한다: 가장 좋은 거래인 $\$3$당 $5$개로도 $8$달러는 대략 $13$ 부근이 한계이므로 $15$ 같은 총합은 닿을 수 없다. $\$8$를 정확히 써서 $13$개를 사면 $1$달러당 약 $1.6$개로, $3$개 상자 비율($1.5$)과 $5$개 상자 비율(약 $1.67$) 사이에 놓인다 — 그 두 상자를 섞으면 당연히 나오는 값이다.

대안 접근: 도구 #3 (가능성 지우기): 가장 큰 보기 $15$는 $\$8$로 아이스바 $15$개가 필요하지만, 모두 $5$개 상자로 사도 최대 $\lfloor 8/3\rfloor\times5=10$개에 약간뿐이므로 $15$는 불가능하고, 닿을 수 있는 총합을 따져 보면 $12$ 이하도 지워져 $13$의 $\textbf{(D)}$만 남는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (각 거래를 같은 $\$6$로 맞추고 상자를 아이스바 개수로 환산함: $3\times3=9$, $2\times5=10$.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (돈과 아이스바를 추적함: $\$8-\$6=\$2$, $10+3=13$.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (가장 좋은 거래를 사고 남은 돈을 처리하는 흐름을 추론하고, $\$8$를 쓰는 경쟁 방법들을 확인함.)

⭐ 1달러당 아이스바가 가장 많은 거래를 찾아 최대한 사고, 남은 돈은 그다음 좋은 거래에 쓴다: $\$3$ 상자 둘에 $\$2$ 상자 하나로 $13$개 — 보기 $\textbf{(D)}$다.