AMC 10 · 2018 · #3
쉬운 모드 학년 3숫자 1,2,3,4 네 개가 있습니다. (×)+(×) 의 각 빈칸에 숫자를 하나씩 넣되, 네 숫자를 각각 한 번씩만 씁니다. 짝지은 두 숫자를 곱한 다음, 두 곱을 더합니다. 나올 수 있는 합은 모두 몇 가지인가요?
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AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $(\,\underline{\;}\times\underline{\;}\,)+(\,\underline{\;}\times\underline{\;}\,)$ 의 네 빈칸에 숫자 $1,2,3,4$ 를 각각 한 번씩 넣습니다. 이 식이 가질 수 있는 서로 다른 값의 개수를 구하세요.
주어진 것: 식의 형태는 (곱) + (곱) — 두 쌍의 숫자를 각각 곱한 뒤 두 곱을 더함; 숫자 $1,2,3,4$ 를 네 빈칸에 각각 정확히 한 번씩 사용; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $24$
구하는 것: 식이 가질 수 있는 서로 다른 값의 개수
이해
문제 재정리: $(\,\underline{\;}\times\underline{\;}\,)+(\,\underline{\;}\times\underline{\;}\,)$ 의 네 빈칸에 숫자 $1,2,3,4$ 를 각각 한 번씩 넣습니다. 이 식이 가질 수 있는 서로 다른 값의 개수를 구하세요.
주어진 것: 식의 형태는 (곱) + (곱) — 두 쌍의 숫자를 각각 곱한 뒤 두 곱을 더함; 숫자 $1,2,3,4$ 를 네 빈칸에 각각 정확히 한 번씩 사용; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $24$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기
작은 유한 상황에서 "서로 다른 값이 몇 개냐"를 묻는 문제는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 정답입니다. 다만 빈칸을 채우는 $4! = 24$ 가지를 모두 나열하면 낭비이므로, 먼저 도구 #15(다르게 정리하기)를 씁니다. $\times$ 와 $+$ 가 모두 교환법칙을 만족하므로 중요한 것은 오직 네 숫자를 어떻게 두 쌍으로 나누는가뿐입니다. 이렇게 다시 보면 어수선한 24가지가 몇 개의 짝짓기로 줄어듭니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 개수를 선택지와 대조해 확인합니다.
실행 — 정답: B
3.OA.B.5 단계 1 곱 안과 곱 사이의 순서는 중요하지 않다
- 한 곱 안에서는 $a\times b = b\times a$ 이므로 한 쌍의 두 숫자 순서는 상관없습니다.
- 두 곱 사이에서는 $P+Q = Q+P$ 이므로 어느 곱을 먼저 쓰는지도 상관없습니다.
- 결국 값은 네 숫자를 어떻게 두 쌍으로 나누느냐에만 달려 있습니다.
💡 교환법칙 덕분에 인수의 순서나 두 곱의 순서를 바꿔도 결과가 변하지 않으므로, $24$ 가지 채우기가 서로 다른 짝짓기들로 합쳐집니다.
3.OA.A.3 단계 2 두 쌍으로 나누는 방법 나열하기
- 숫자 $1$ 을 고정하고 그 짝을 정합니다.
- $1$ 은 $2$, $3$, $4$ 중 하나와 짝지을 수 있고, 어느 것을 고르든 남은 두 숫자가 자동으로 다른 쌍이 됩니다.
- 그래서 정확히 세 가지 분할이 나오며, 중복도 빠짐도 없습니다.
💡 한 숫자를 고정하고 그 짝을 고르는 규칙이 모든 짝짓기를 한 번씩만 빠짐없이 나열하게 해 줍니다.
3.OA.C.7 단계 3 각 쌍을 곱하기
각 분할에서 한 쌍의 두 숫자를 곱해, 더할 두 곱을 구합니다.
💡 각 짝짓기는 더하기 전에 한 자리 곱셈 두 번만 하면 됩니다.
2.OA.B.2 단계 4 각 분할에서 두 곱을 더하기
각 분할의 두 곱을 더해 그 분할의 최종 값을 구합니다.
💡 두 곱을 더하면 각 짝짓기가 비교할 수 있는 하나의 최종 수로 바뀝니다.
K.MD.B.3 단계 5 서로 다른 값 세기
- 세 값은 $14$, $11$, $10$ 입니다.
- 모두 다르므로 서로 다른 값은 세 개입니다.
- 이는 (순서가 중요하다고 잘못 가정한) $6$ 이나 $24$ 같은 큰 선택지를 배제하고 (B) 와 일치합니다.
💡 각 짝짓기가 하나의 수를 주면, 서로 다른 결과를 세는 일은 그것들을 서로 다른 칸에 분류해 칸 수를 세는 것과 같습니다.
3.OA.B.5 한 곱 안에서는 $a\times b = b\times a$ 이므로 한 쌍의 두 숫자 순서는 상관없습니다. 두 곱 사이에서는 $P+Q = Q+P$ 3.OA.A.3 숫자 $1$ 을 고정하고 그 짝을 정합니다. $1$ 은 $2$, $3$, $4$ 중 하나와 짝지을 수 있고, 어느 것을 고르든 남은 두 숫자가 3.OA.C.7 각 분할에서 한 쌍의 두 숫자를 곱해, 더할 두 곱을 구합니다. 2.OA.B.2 각 분할의 두 곱을 더해 그 분할의 최종 값을 구합니다. K.MD.B.3 세 값은 $14$, $11$, $10$ 입니다. 모두 다르므로 서로 다른 값은 세 개입니다. 이는 (순서가 중요하다고 잘못 가정한) $6$ 이나 검토
합리성 확인: 큰 선택지 $24$ 와 $6$ 은 함정입니다. $24 = 4!$ 은 순서가 다른 모든 채우기를 세고, $6$ 은 짝짓기를 과다하게 셉니다. 둘 다 $\times$ 와 $+$ 가 교환법칙을 만족한다는 점을 무시한 결과입니다. 네 숫자를 두 쌍으로 나누는 방법은 진짜로 $3$ 가지뿐이고, 세 값 $14$, $11$, $10$ 이 마침 모두 달라 더 합쳐질 것이 없습니다. 서로 다른 값 세 개, 선택지 (B) 와 모순이 없습니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 곱은 항상 $1,2,3,4$ 를 모두 쓰고 $1\times2\times3\times4=24$ 는 고정이지만, 변하는 것은 두 곱의 합입니다. 분할 $\{1,4\},\{2,3\}$ 은 양 끝값을 한 쌍으로 묶어 가장 작은 합 $10$ 을, $\{1,2\},\{3,4\}$ 는 큰 두 숫자를 함께 두어 가장 큰 합 $14$ 를 줍니다 — 합들이 세 개의 서로 다른 값으로 퍼질 수밖에 없음을 빠르게 알 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
K.MD.B.3물체를 주어진 범주로 분류하고 각 범주의 개수 세기 (세 값 $14$, $11$, $10$ 을 서로 다른 값으로 분류하고 그 개수를 세는 데 사용.)2.OA.B.2암산 전략으로 20 이내 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기 (각 분할에서 두 곱을 더하는 데 사용, 예: $2+12=14$, $3+8=11$, $4+6=10$.)3.OA.A.3100 이내 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 ($1$ 을 고정하고 그 짝을 골라 $1,2,3,4$ 를 두 쌍으로 나누는 세 가지 방법을 나열하는 데 사용.)3.OA.B.5연산의 성질을 곱셈·나눗셈 전략으로 활용하기 ($\times$ 와 $+$ 의 교환법칙을 이용해 $24$ 가지 빈칸 채우기를 서로 다른 짝짓기로 줄이는 데 사용.)3.OA.C.7100 이내 곱셈·나눗셈 능숙하게 하기 (각 쌍의 곱을 계산하는 데 사용, 예: $3\times 4=12$, $2\times 4=8$.)
⭐ $\times$ 와 $+$ 는 순서를 따지지 않으니 결정할 것은 $1,2,3,4$ 를 두 쌍으로 어떻게 나누느냐뿐 — 방법은 딱 세 가지이고 $14$, $11$, $10$ 이 나와요.
⭐ $\times$ 와 $+$ 는 순서를 따지지 않으니 결정할 것은 $1,2,3,4$ 를 두 쌍으로 어떻게 나누느냐뿐 — 방법은 딱 세 가지이고 $14$, $11$, $10$ 이 나와요.
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