AMC 10 · 2020 · #6
쉬운 모드 학년 5아래 그림은 작은 정사각형이 가로로 5칸, 세로로 4칸 놓인 격자입니다. 그중 3칸은 이미 색칠되어 있습니다.
칸을 더 색칠할 수는 있지만, 이미 칠해진 색을 지울 수는 없습니다. 다 색칠했을 때, 그림에는 대칭축이 2개 있어야 합니다. 대칭축이란 그 선을 따라 그림을 접으면 양쪽이 정확히 포개지는 선입니다.
더 색칠해야 하는 칸은 최소 몇 칸일까요?
답을 골라 클릭하세요.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 가로 $5$ 칸, 세로 $4$ 칸짜리 단위 정사각형 격자에서 $3$ 칸이 이미 색칠되어 있다. 전체 도형이 대칭축을 두 개 갖도록 칸을 더 색칠할 때, 추가로 색칠해야 하는 칸의 최소 개수는?
주어진 것: 도형은 가로 $5$ 칸, 세로 $4$ 칸의 단위 정사각형 격자 (전체 $20$ 칸); 각 칸을 (열, 행)으로 부름: 열은 왼쪽부터 $1$–$5$, 행은 아래부터 $1$–$4$; 이미 색칠된 세 칸은 (열 $2$, 행 $4$), (열 $3$, 행 $2$), (열 $5$, 행 $1$); 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$
구하는 것: 추가로 색칠해야 하는 단위 정사각형의 최소 개수
이해
문제 재정리: 가로 $5$ 칸, 세로 $4$ 칸짜리 단위 정사각형 격자에서 $3$ 칸이 이미 색칠되어 있다. 전체 도형이 대칭축을 두 개 갖도록 칸을 더 색칠할 때, 추가로 색칠해야 하는 칸의 최소 개수는?
주어진 것: 도형은 가로 $5$ 칸, 세로 $4$ 칸의 단위 정사각형 격자 (전체 $20$ 칸); 각 칸을 (열, 행)으로 부름: 열은 왼쪽부터 $1$–$5$, 행은 아래부터 $1$–$4$; 이미 색칠된 세 칸은 (열 $2$, 행 $4$), (열 $3$, 행 $2$), (열 $5$, 행 $1$); 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #17 공간 상상하기, #14 극단의 원리, #3 가능성 지우기
격자를 그리고 대칭축 후보를 먼저 표시(도구 #1) — 도형의 테두리가 정사각형이 아닌 직사각형이라 색칠을 정하기도 전에 대칭축이 확정됨. 그다음 도구 #17로 색칠된 칸을 각 축에 비추어 어떤 칸이 딸려 오는지 확인. '최소'라는 말은 도구 #14로 제대로 처리 — 먼저 '거울상은 피할 수 없다'는 하한을 증명하고, 그 하한을 정확히 달성하는 색칠을 실제로 제시해서 최솟값이 도달 가능함을 보임. 도구 #3으로 개수를 보기와 맞춤.
실행 — 정답: D
4.G.A.3 단계 1 대칭축의 위치부터 확정
- 전체 도형의 테두리는 가로 $5$, 세로 $4$ 인 직사각형이다.
- 완성된 도형의 대칭축은 이 테두리의 대칭축이기도 해야 한다.
- 정사각형이 아닌 직사각형의 대칭축은 정확히 두 개 — 세로 한가운데 선과 가로 한가운데 선.
- 그래서 두 축은 색칠하기 전에 이미 정해진다.
💡 정사각형이 아닌 직사각형은 좌우로, 위아래로 — 딱 두 가지 방법으로만 자기 자신에 포개진다.
5.G.A.1 단계 2 두 대칭을 규칙으로 적기
- 세로축 대칭에서는 열 $1$과 열 $5$, 열 $2$와 열 $4$가 서로 바뀌고 열 $3$은 제자리에 남는다.
- 가로축 대칭에서는 행 $1$과 행 $4$, 행 $2$와 행 $3$이 서로 바뀐다.
- '이 칸을 비춰라'가 이름표에 대한 뺄셈으로 바뀐다.
💡 칸마다 열과 행으로 이름을 붙이면 거울상을 눈대중이 아니라 뺄셈으로 찾을 수 있다.
4.G.A.3 단계 3 첫 번째 색칠 칸 비추기
- (열 $2$, 행 $4$) 칸을 보자.
- 도형이 두 축 모두에 대해 대칭이라면 이 칸의 세로 거울상, 가로 거울상, 그리고 거울상의 거울상까지 모두 색칠되어야 한다.
- 이 칸의 중심은 어느 축 위에도 없으므로 이 무리의 네 칸은 모두 서로 다르다.
💡 두 축 어디에도 걸치지 않은 칸은 언제나 짝 셋을 함께 끌고 온다.
4.G.A.3 단계 4 두 번째 색칠 칸 비추기
- (열 $3$, 행 $2$) 칸은 가운데 열에 있어서 세로축 대칭이 자기 자신으로 보낸다.
- 새로 생기는 칸은 가로축 대칭에서만 나온다.
- 이 무리는 $2$ 칸뿐이다.
💡 축 위에 앉은 칸은 자기 자신이 거울상이라 짝이 절반만 필요하다.
4.G.A.3 단계 5 세 번째 색칠 칸 비추기
- (열 $5$, 행 $1$) 칸은 모서리 칸이고 두 축 어디에도 걸치지 않아 모서리 칸 셋을 더 끌고 온다.
- 세 무리를 나란히 적어 보면 겹치는 칸이 하나도 없다.
💡 서로 다른 열에서 출발한 칸끼리는 절대 같은 칸으로 비춰지지 않는다.
4.OA.A.3 단계 6 색칠 개수의 하한
- 세 무리에 속한 칸은 모두 색칠이 강제된다.
- 세 무리는 서로 겹치지 않으므로 완성된 도형에는 최소 $4 + 2 + 4 = 10$ 칸이 색칠되어야 한다.
- 그중 $3$ 칸은 이미 색칠되어 있으니 최소 $7$ 칸이 더 필요하다.
💡 대칭이 강제하는 칸을 먼저 세고, 이미 칠해진 칸을 빼면 된다.
4.G.A.3 단계 7 $7$이 실제로 가능한지 확인
- 그 $10$ 칸만 정확히 칠하면 실제로 성립한다.
- 이 $10$ 칸은 처음 세 칸을 두 대칭으로 닫아서 만든 집합이므로, 어느 축으로 비춰도 집합 자체가 자기 자신으로 돌아온다.
- 그 도형은 대칭축을 둘 가지므로 $7$은 단순한 하한이 아니라 실제로 달성되는 값이고, 답은 (D).
💡 거울로 만들어 낸 집합은 저절로 대칭이라, 하한을 구한 방법이 곧 만드는 방법이 된다.
4.G.A.3 전체 도형의 테두리는 가로 $5$, 세로 $4$ 인 직사각형이다. 완성된 도형의 대칭축은 이 테두리의 대칭축이기도 해야 한다. 정사각형이 아닌 5.G.A.1 세로축 대칭에서는 열 $1$과 열 $5$, 열 $2$와 열 $4$가 서로 바뀌고 열 $3$은 제자리에 남는다. 가로축 대칭에서는 행 $1$과 행 4.G.A.3 (열 $2$, 행 $4$) 칸을 보자. 도형이 두 축 모두에 대해 대칭이라면 이 칸의 세로 거울상, 가로 거울상, 그리고 거울상의 거울상까지 모 4.G.A.3 (열 $3$, 행 $2$) 칸은 가운데 열에 있어서 세로축 대칭이 자기 자신으로 보낸다. 새로 생기는 칸은 가로축 대칭에서만 나온다. 이 무리는 4.G.A.3 (열 $5$, 행 $1$) 칸은 모서리 칸이고 두 축 어디에도 걸치지 않아 모서리 칸 셋을 더 끌고 온다. 세 무리를 나란히 적어 보면 겹치는 4.OA.A.3 세 무리에 속한 칸은 모두 색칠이 강제된다. 세 무리는 서로 겹치지 않으므로 완성된 도형에는 최소 $4 + 2 + 4 = 10$ 칸이 색칠되어야 4.G.A.3 그 $10$ 칸만 정확히 칠하면 실제로 성립한다. 이 $10$ 칸은 처음 세 칸을 두 대칭으로 닫아서 만든 집합이므로, 어느 축으로 비춰도 집합 검토
합리성 확인: 완성된 그림으로 직접 확인. 행 $1$은 열 $1,2,4,5$가 칠해지고 행 $4$도 똑같이 네 칸 — 두 행은 가로축 대칭에서 서로 바뀌고, 각 행은 왼쪽에서 읽으나 오른쪽에서 읽으나 같으므로 두 대칭 모두 통과. 행 $2$와 행 $3$은 가운데 열인 열 $3$ 한 칸씩만 칠해지는데, 가운데 열은 세로축 대칭에서 고정되고 두 행은 가로축 대칭에서 서로 바뀐다. 전체 색칠 칸은 $4 + 1 + 1 + 4 = 10$, 그래서 추가 $10 - 3 = 7$ 칸. 보기 (A) $4$는 두 축이 아니라 한 축으로만 비췄을 때 나오는 값이고, (E) $8$은 가운데 열 칸의 짝이 하나뿐이라는 사실을 놓쳤을 때 나오는 값이다.
대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): 칸을 하나씩 쫓는 대신, 두 축이 격자를 나누는 네 개의 사분면 조각과 가운데 열을 본다. 두 축을 따라 격자를 접으면 네 조각이 모두 포개진다. 색칠된 칸은 접힌 조각의 어떤 칸으로 떨어지고, 대칭인 도형이란 곧 접힌 칸 집합을 그대로 펼친 도형이다. 모서리 쪽 두 칸은 접힌 조각의 서로 다른 칸으로 떨어져 펼치면 각각 $4$ 칸이 되고, 가운데 열 칸은 접는 선 위의 칸이라 펼치면 $2$ 칸이 되어 다시 $4 + 4 + 2 = 10$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.G.A.3평면도형의 대칭축 알아보기 ($5 \times 4$ 직사각형의 대칭축 두 개를 확정하고, 색칠된 칸을 비추고, 완성된 도형이 실제로 대칭인지 확인.)5.G.A.1수직으로 만나는 두 수직선으로 좌표계 사용하기 (각 칸을 (열, 행)으로 이름 붙여 대칭을 $c \mapsto 6-c$, $r \mapsto 5-r$ 라는 뺄셈 규칙으로 바꾸기.)4.OA.A.3네 연산을 이용한 여러 단계 자연수 문제 해결 (세 무리의 크기 $4 + 2 + 4 = 10$을 더하고 이미 칠해진 $3$ 칸을 빼서 $7$ 구하기.)
⭐ 이 AMC 12 문제는 4~5학년 대칭만 알면 풀려요 — 색칠된 칸은 자기 거울상을 끌고 오는데, 두 축 어디에도 안 걸치면 넷, 축 위에 있으면 둘이라서 $4 + 2 + 4 = 10$ 칸이 필요하고 $7$ 칸을 더 칠해야 해요.
⭐ 이 AMC 12 문제는 4~5학년 대칭만 알면 풀려요 — 색칠된 칸은 자기 거울상을 끌고 오는데, 두 축 어디에도 안 걸치면 넷, 축 위에 있으면 둘이라서 $4 + 2 + 4 = 10$ 칸이 필요하고 $7$ 칸을 더 칠해야 해요.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
