AMC 8 · 2000 · #6

쉬운 모드 학년 3

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문제

$ABCD$ 라는 큰 정사각형을 떠올려 봅시다. 그 안쪽에는 더 작은 정사각형 세 개가 그려져 있어요. 그림에 적힌 숫자는 각 변의 길이를 나타냅니다.

이 작은 정사각형 세 개를 그리고 나면, 회색으로 칠해진 $L$ 모양의 부분이 남아요.

이 회색 $L$ 모양 부분의 넓이는 얼마일까요?

그림

한 변이 5인 정사각형 ABCD 안에 변의 길이 1, 3, 1인 정사각형 세 개가 있고, 남은 L 모양이 점선으로 두 직사각형으로 나뉘어 있어요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

12.5

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $5 \times 5$ 정사각형 $ABCD$ 안에 변의 길이가 $1$, $3$, $1$ 인 작은 정사각형 세 개가 들어 있습니다. $3 \times 3$ 정사각형은 한 모서리에 붙어 있고, 두 개의 단위 정사각형은 이웃한 모서리에 붙어 있습니다. $3 \times 3$ 정사각형을 감싸는 L자 모양 음영 영역의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 바깥 정사각형 $ABCD$ 의 한 변은 $1 + 3 + 1 = 5$; 변이 $1$ 인 작은 정사각형이 왼쪽 위 띠에 위치; 가운데 정사각형의 변은 $3$; 변이 $1$ 인 또 다른 작은 정사각형이 오른쪽 아래 띠에 위치; 선택지: (A) $7$, (B) $10$, (C) $12.5$, (D) $14$, (E) $15$

구하는 것: L자 모양 음영 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

주어진 길이 $1, 3, 1$ 만으로 그림의 모든 좌표가 결정되므로, 도구 #1(그림 그리기)로 L자 모양의 모든 변 길이를 그림에서 곧바로 읽어낼 수 있습니다 — 대수가 필요 없어요. 좌표가 정해진 L 을 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 번의 가로 또는 세로 절단으로 두 직사각형으로 나누고, 각 직사각형의 넓이를 구한 뒤 더하면 끝납니다. "큰 정사각형에서 세 작은 정사각형을 뺀 뒤 $2$로 나누기" 방식도 맞지만, 그림 자체에서 한 L 이 두 직사각형으로 보이는 만큼 그 추가 단계는 불필요합니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 1

격자 세우기

격자를 설정합니다.
바깥 정사각형의 한 변이 $1 + 3 + 1 = 5$ 이므로, 모서리가 $(0,0)$과 $(5,5)$ 인 격자에 올려놓습니다.
음영 L 은 가운데 $3 \times 3$ 정사각형을 감싸며, 왼쪽 변을 따라 폭 $1$로 $y = 0$ 에서 $y = 4$까지 올라가고, 아래쪽 변을 따라 높이 $1$로 $x = 0$ 에서 $x = 4$까지 뻗어 있습니다.

$$\text{바깥 한 변} = 1 + 3 + 1 = 5$$

💡 도형을 격자 위에 올려 읽는 것은 3학년 "직사각형 타일링" 그대로 — 모든 길이가 단위칸의 정수배입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 2

L을 직사각형 둘로 자르기

$y = 1$ 에서 가로로 한 번 잘라 L 을 두 직사각형으로 나눕니다.
위쪽 조각은 왼쪽 변을 따라 길게 선 직사각형으로, $(0,1)$부터 $(1,4)$까지 가로 $1$, 세로 $3$.
아래쪽 조각은 아래쪽 변을 따라 넓게 누운 직사각형으로, $(0,0)$부터 $(4,1)$까지 가로 $4$, 세로 $1$.
두 조각은 절단선에서 맞닿을 뿐 겹치지 않습니다.

$$\text{위 조각}: 1 \times 3, \quad \text{아래 조각}: 4 \times 1$$

💡 L 을 한 번의 직선 절단으로 두 직사각형으로 분해하는 것은 3학년 "직사각형으로 분해하기" 아이디어 — 전체 넓이는 그대로, 다루기 쉬운 도형으로 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 3

두 넓이 더하기

각 직사각형의 넓이를 구한 뒤 더합니다.
위 조각의 넓이는 $1 \times 3 = 3$, 아래 조각의 넓이는 $4 \times 1 = 4$.
두 값을 더하면 L 의 넓이입니다.

$$\text{L 의 넓이} = 1 \times 3 + 4 \times 1 = 3 + 4 = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 두 직사각형의 넓이를 더하는 것은 3학년 "넓이는 더할 수 있다" 성질입니다.

[1] #1 3.MD.C.7 격자를 설정합니다. 바깥 정사각형의 한 변이 $1 + 3 + 1 = 5$ 이므로, 모서리가 $(0,0)$과 $(5,5)$ 인 격자에 올려놓습니다

[2] #7 3.MD.C.7 $y = 1$ 에서 가로로 한 번 잘라 L 을 두 직사각형으로 나눕니다. 위쪽 조각은 왼쪽 변을 따라 길게 선 직사각형으로, $(0,1)$부터

[3] #7 3.MD.C.7 각 직사각형의 넓이를 구한 뒤 더합니다. 위 조각의 넓이는 $1 \times 3 = 3$, 아래 조각의 넓이는 $4 \times 1 = 4$.

검토

합리성 확인: "큰 사각형에서 안쪽을 빼기" 관점으로 재확인합시다. 왼쪽 아래에 있는 $4 \times 4$ 부분 사각형 (모서리 $(0,0)$부터 $(4,4)$)은 L 영역과 가운데 $3 \times 3$ 정사각형을 빈틈없이 정확히 담고 있습니다. 따라서 L $= 4 \times 4 - 3 \times 3 = 16 - 9 = 7$. 같은 답입니다. $5 \times 5$ 전체 격자를 그리고 음영 칸 수를 세어 봐도 아래쪽 띠에 $4$ 칸, 왼쪽 띠에 $3$ 칸으로 $7$ 칸 — (A)와 일치합니다. 선택지 (D) $14$와 (E) $15$는, L 이 단 하나의 $3 \times 3$ 정사각형만 감싼다는 사실을 놓치고 $25 - 9 - 1 - 1 = 14$ 처럼 세 작은 사각형을 모두 빼버릴 때 나오는 함정 — 그것은 한 L 이 아니라 두 L 의 넓이입니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기): L 을 직접 재지 말고 감싸 봅시다. 왼쪽 아래의 $4 \times 4$ 부분 사각형은 L 과 안쪽 $3 \times 3$ 정사각형만으로 빈틈없이 채워지는, L 을 담는 가장 작은 축정렬 정사각형입니다. 따라서 L $= 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$로 마찬가지로 (A)가 나옵니다. 두 직사각형 합 대신 적절한 둘러싸는 사각형 하나를 찾는 순간 단 한 번의 뺄셈으로 끝납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈과 연결하기 (각 직사각형의 넓이를 가로 $\times$ 세로 ($1 \times 3$와 $4 \times 1$)로 구하고, "넓이는 더할 수 있다" 성질로 두 조각을 합쳐 L 의 전체 넓이를 구하는 데 사용.)
3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (두 직사각형의 넓이 $3$과 $4$를 한 번의 짧은 계산 $3 + 4 = 7$로 합쳐 답 (A)에 도달하는 데 사용.)

⭐ L 자를 한 번의 직선 절단으로 두 직사각형으로 자르세요. 한 조각은 $1 \times 3 = 3$, 다른 조각은 $4 \times 1 = 4$, 그래서 L 의 넓이는 $3 + 4 = 7$ — 답은 (A)입니다.

그림