AMC 8 · 2001 · #14

쉬운 모드 학년 4

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문제

타일러(Tyler)가 뷔페에서 음식을 담고 있어요. 한 끼 식사를 만들기 위해 다음과 같이 고릅니다.

고기 1가지, 선택지: 소고기(beef), 닭고기(chicken), 돼지고기(pork)
서로 다른 채소 2가지, 선택지: 콩 요리(baked beans), 옥수수(corn), 감자(potatoes), 토마토(tomatoes)
디저트 1가지, 선택지: 브라우니(brownies), 초콜릿 케이크(chocolate cake), 초콜릿 푸딩(chocolate pudding), 아이스크림(ice cream)

채소 두 가지를 고를 때 고르는 순서는 상관없어요. 옥수수와 감자를 고른 것과 감자와 옥수수를 고른 것은 같은 것으로 봅니다.

타일러가 만들 수 있는 서로 다른 식사는 모두 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

144

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 타일러는 고기 $3$ 가지 중 $1$ 가지, 채소 $4$ 가지 중 서로 다른 $2$ 가지, 디저트 $4$ 가지 중 $1$ 가지를 골라 한 끼 식사를 만듭니다. 음식 순서는 중요하지 않습니다. 가능한 서로 다른 식사 구성은 몇 가지인가요?

주어진 것: 고기: beef, chicken, pork ($3$ 가지 중 $1$ 가지 선택); 채소: baked beans, corn, potatoes, tomatoes ($4$ 가지 중 서로 다른 $2$ 가지 선택); 디저트: brownies, chocolate cake, chocolate pudding, ice cream ($4$ 가지 중 $1$ 가지 선택); 선택지: (A) $4$, (B) $24$, (C) $72$, (D) $80$, (E) $144$

구하는 것: 타일러가 만들 수 있는 서로 다른 식사의 총 가짓수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

한 끼 식사는 세 개의 독립된 부분으로 이루어져요. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 "고기 고르기, 채소 짝 고르기, 디저트 고르기" 세 조각으로 나누고, 세 결과를 곱하면 됩니다. 신경 써야 할 부분은 "서로 다른 채소 $2$ 가지, 순서 무관" 인 채소 짝뿐인데, 이건 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 같은 짝을 두 번 세지 않도록 한 번씩 적으면 끝납니다. 조합 공식 $\binom{n}{k}$ 나 도구 #13 (대수로 바꾸기) 없이 작은 수의 곱셈만으로 풀려요.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 1

고기 경우의 수 세기

작은 문제 1: 고기 가짓수를 셉니다.
세 가지 중 하나를 고르는 것이므로 곧바로 $3$입니다.

$$\text{고기 가짓수} = 3$$

💡 세 가지 중 하나를 고르는 방법은 그냥 세 가지입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 2

채소 두 개 짝 세기

작은 문제 2: 채소의 "순서 없는 짝" 의 수를 셉니다.
채소에 $1$ (baked beans), $2$ (corn), $3$ (potatoes), $4$ (tomatoes) 번호를 매기고, 각 채소에 대해 "자기보다 번호가 큰" 채소와의 짝만 적으면 같은 짝을 두 번 세는 일이 없습니다.

$$\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\} \;\Rightarrow\; 3 + 2 + 1 = 6 \text{ 짝}$$

💡 "악수 문제" 와 같은 셈입니다. 채소 $1$ 번은 새 짝이 $3$ 개, $2$ 번은 $2$ 개 ($1$ 번과의 짝은 이미 셌어요), 같은 식으로 진행됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 3

후식 경우의 수 세기

작은 문제 3: 디저트 가짓수를 셉니다.
네 가지 중 하나를 고르는 것이므로 $4$입니다.

$$\text{디저트 가짓수} = 4$$

💡 네 가지 중 하나를 고르는 방법은 네 가지입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

세 경우의 수 곱하기

세 작은 문제의 결과를 합칩니다.
고기·채소 짝·디저트는 서로 독립적으로 고르므로 총 식사 수는 세 가짓수의 곱입니다.

$$3 \times 6 \times 4 = 72 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 고기 하나마다 채소 짝 $6$ 가지가 가능하므로 ($3 \times 6 = 18$ 개의 고기·채소 조합), 그 각각에 디저트 $4$ 가지가 붙어 $18 \times 4 = 72$가 됩니다.

[1] #7 3.OA.A.1 작은 문제 1: 고기 가짓수를 셉니다. 세 가지 중 하나를 고르는 것이므로 곧바로 $3$입니다.

[2] #2 4.OA.A.3 작은 문제 2: 채소의 "순서 없는 짝" 의 수를 셉니다. 채소에 $1$ (baked beans), $2$ (corn), $3$ (potatoe

[3] #7 3.OA.A.1 작은 문제 3: 디저트 가짓수를 셉니다. 네 가지 중 하나를 고르는 것이므로 $4$입니다.

[4] #7 4.OA.A.3 세 작은 문제의 결과를 합칩니다. 고기·채소 짝·디저트는 서로 독립적으로 고르므로 총 식사 수는 세 가짓수의 곱입니다.

검토

합리성 확인: 크기 점검: $72$는 $24$ (채소 짝을 "채소 하나 고르기 ($4$ 가지)" 처럼 처리하면 나오는 너무 작은 값)와 $144$ (채소 짝을 순서 있게 $4 \times 3 = 12$로 세어 두 배가 된 값)의 사이에 자리합니다. 함정 선택지는 흔한 실수에서 나옵니다 — (A) $4$는 그냥 가짓수를 더하다 만 값, (B) $24 = 3 \times 2 \times 4$는 채소를 하나만 센 경우, (D) $80$은 패턴에서 벗어난 함정, (E) $144 = 3 \times 12 \times 4$는 채소 짝을 순서 있게 세어 두 번씩 센 경우입니다. (C)를 골랐다면 세 부분을 따로 잘 세고, 짝을 "순서 없는 짝" 으로 올바르게 다뤘다는 뜻이에요.

대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 채소 규칙을 먼저 "하나만 고르기" 로 바꿔 봅니다. "고기 $1$, 채소 $1$, 디저트 $1$" 이면 $3 \times 4 \times 4 = 48$ 가지. 이제 채소를 "서로 다른 $2$ 가지, 순서 무관" 으로 업그레이드하면 $4$ 라는 인수가 $\tfrac{4 \times 3}{2} = 6$으로 바뀝니다 (첫 채소 $4$ 가지, 둘째 $3$ 가지, 같은 짝이 두 번 세어졌으니 $2$로 나눔). 따라서 $3 \times 6 \times 4 = 72$, 다시 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.1 곱셈을 묶음의 개수로 해석하기 ("고기 $3$ 가지", "디저트 $4$ 가지" 를 각 묶음에서 하나를 고르는 방법의 수로 읽어내는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 풀기 (채소의 $6$ 가지 짝을 빠짐없이 나열하고, $3 \times 6 \times 4 = 72$로 세 작은 문제의 결과를 합쳐 답을 구하는 데 사용.)

⭐ 식사의 부분마다 따로 세고 곱하세요. 핵심은 채소 짝뿐 — 같은 짝을 두 번 세지 않게 나열하면 $12$가 아닌 $6$이 나옵니다. $3 \times 6 \times 4 = 72$, 답은 (C).