AMC 8 · 2009 · #16

숫자 0 지우기

• 먼저 $0$을 제외합니다.
• 한 자리라도 $0$이면 곱이 $0$이 되어 $24$가 되지 않으므로, 모든 자리 숫자는 $1$부터 $9$ 사이여야 합니다.
• 이것으로 "백의 자리는 $0$이 아니다" 조건도 자연스럽게 해결됩니다.

💡 "$0$을 곱하면 $0$" 이라는 3학년 곱셈 사실 하나로 후보 숫자 범위가 즉시 좁아집니다.

세 숫자 조합 적기

• 곱이 $24$가 되는 자리 숫자 묶음 $\{a, b, c\}$ ($a \le b \le c$)을 모두 찾습니다.
• 가장 작은 숫자 $a$ 를 기준으로, 각 $a$ 에 대해 $b \cdot c = 24 / a$ ($b \le c$)을 만족하는 자리 숫자 쌍 $(b, c)$를 나열합니다.

💡 "가장 작은 수부터" 라는 순서 규칙으로 나열하는 것은 4학년 "인수쌍 모두 찾기" 를 두 번 적용하는 것과 같습니다.

자리 바꾼 수 세기

• 서로 다른 세 숫자로 이루어진 묶음마다, 자리를 바꿔 만들 수 있는 세 자리 수를 "작은 수부터" 순서로 모두 적어 봅니다.
• 세 숫자가 모두 다르면 묶음마다 $6$ 개가 나옵니다.

💡 세 숫자가 모두 다를 때 백의 자리에 올 숫자 ($3$ 가지) $\times$ 십의 자리 ($2$ 가지) $\times$ 일의 자리 ($1$ 가지) $= 6$ — 직접 나열해 봐도 정확히 $6$ 개입니다.

같은 숫자 있는 경우 세기

• $\{2, 2, 6\}$ 처럼 같은 숫자가 있는 묶음은 두 $2$의 자리를 바꿔도 같은 수이므로, 나열이 더 짧습니다.
• $6$이 어느 자리에 가는가만 따지면 됩니다.

💡 같은 숫자가 있으면 "혼자인 숫자 ($6$)가 어느 자리에 오는가" 만 결정하면 되므로 $3$ 자리 $\to$ $3$ 개.

개수 모두 더하기

각 묶음에서 나온 개수를 모두 더해 최종 답을 구합니다.

💡 경우별로 나눠 푼 답을 모아서 합치는 것이 도구 #7의 마무리 동작입니다.