AMC 8 · 2009 · #18

쉬운 모드 학년 4

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문제

한 변이 $7$ 피트인 정사각형 바닥을 떠올려 봅시다. 이 바닥은 한 변이 $1$ 피트인 정사각형 타일로 덮여 있어요. 어떤 타일은 검은색, 어떤 타일은 흰색입니다.

그림에서 네 모서리에 있는 타일은 모두 흰색입니다. 나머지 무늬는 그림에 나와 있어요.

이제 더 큰 바닥을 생각해봅시다. 한 변이 $15$ 피트인 정사각형 바닥에 똑같은 무늬로 타일을 깐다고 해요. 이 더 큰 바닥에는 흰색 타일이 몇 개나 필요할까요?

그림

같은 규칙을 더 작은 홀수 변 바닥에 적용해 흰 타일 수를 세어 패턴을 찾아보자.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

126

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $7$ 피트 $\times$ $7$ 피트 바닥을 $1$ 제곱피트짜리 검은 타일과 흰 타일로 줄무늬 모양으로 깐다고 합니다 — 네 모서리는 흰색이고, 가장자리에서 한 칸 안쪽부터 한 줄 건너 한 줄씩 검은 줄(가로 줄·세로 줄)이 배치됩니다. 같은 규칙으로 $15$ 피트 $\times$ $15$ 피트 바닥을 깔 때 필요한 흰 타일 수를 구합니다.

주어진 것: 한 타일은 $1$ 제곱피트; $7 \times 7$ 그림에서 검은 타일은 한쪽 가장자리에서 $2, 4, 6$ 번째 가로 줄과 $2, 4, 6$ 번째 세로 줄을 가득 채움; 네 모서리 타일은 모두 흰색; 새 바닥은 $15 \times 15$ 이며 같은 규칙으로 깖; 선택지: (A) $49$, (B) $57$, (C) $64$, (D) $96$, (E) $126$

구하는 것: $15 \times 15$ 바닥에 필요한 흰 타일의 개수

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

$15 \times 15$를 곧바로 세는 건 번거롭습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 같은 규칙을 한 변이 작은 홀수 — $1 \times 1$, $3 \times 3$, $5 \times 5$, $7 \times 7$ — 에 적용해 손으로 세고, 도구 #5(패턴 찾기)로 네 개의 결과에서 규칙을 뽑아 한 변이 $15$ 인 경우로 확장합니다. $7 \times 7$은 그림이 이미 제공되어 있어 출발점이 명확합니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 2.G.A.2 단계 1

흰 타일 세기

$7 \times 7$ 그림에서 흰 타일의 위치를 봅니다.
검은 줄은 $2, 4, 6$ 번째 가로·세로 줄이므로, 흰 타일은 가로·세로 위치가 모두 $\{1, 3, 5, 7\}$ (홀수 위치) 인 칸뿐입니다 — 홀수 가로 줄 $4$ 개와 홀수 세로 줄 $4$ 개의 교차점.

$$7 \times 7\text{의 흰 타일} = 4 \times 4 = 16$$

💡 정사각형을 같은 크기의 가로·세로 단위 칸으로 나누어 교차점의 개수를 세는 것은 2학년 배열(array) 개념입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 2.G.A.2 단계 2

작은 바닥에서 반복하기

더 작은 홀수 변 바닥에도 같은 방식으로 셉니다.
$1 \times 1$은 한 타일 자체가 모서리라 흰색 $1$ 개.
$3 \times 3$은 홀수 위치 $\{1, 3\}$이라 $2 \times 2 = 4$ 개.
$5 \times 5$는 홀수 위치 $\{1, 3, 5\}$ 라 $3 \times 3 = 9$ 개.

$$1, \;4, \;9, \;16$$

💡 같은 규칙을 손으로 셀 만한 작은 바닥에 옮겨 보면 대수 없이도 구조가 드러납니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

제곱수 규칙 찾기

네 개의 결과 $1, 4, 9, 16$은 정확히 제곱수 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$입니다.
한 변 길이 $1, 3, 5, 7$은 $1$ 번째, $2$ 번째, $3$ 번째, $4$ 번째 홀수이므로, $k$ 번째 홀수 변 바닥의 흰 타일 수는 $k^2$입니다.

$$\text{흰 타일}(s) = k^2 \quad (s = 2k - 1)$$

💡 타일 규칙에서 제곱수 패턴을 끌어내는 것은 4학년 "수·도형 패턴 만들기" 표준 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 4

15가 몇 번째 홀수인지 찾기

$15$가 몇 번째 홀수인지 찾습니다.
홀수는 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ 이므로 $15$는 $8$ 번째 홀수, 즉 $k = 8$.

$$15 = 2 \times 8 - 1 \;\Rightarrow\; k = 8$$

💡 홀수를 $1, 3, 5, \dots$ 로 인식하고 $15$의 자리를 찾는 것은 3학년 산술 패턴 표준입니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.C.7 단계 5

규칙 적용하기

$k = 8$을 패턴에 대입합니다.

$$\text{흰 타일}(15) = 8^2 = 64 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $8 \times 8 = 64$를 계산하는 것은 3학년 "$100$ 이내 곱셈을 능숙히" 표준에 해당합니다.

[1] #9 2.G.A.2 $7 \times 7$ 그림에서 흰 타일의 위치를 봅니다. 검은 줄은 $2, 4, 6$ 번째 가로·세로 줄이므로, 흰 타일은 가로·세로 위치가

[2] #9 2.G.A.2 더 작은 홀수 변 바닥에도 같은 방식으로 셉니다. $1 \times 1$은 한 타일 자체가 모서리라 흰색 $1$ 개. $3 \times 3$은

[3] #5 4.OA.C.5 네 개의 결과 $1, 4, 9, 16$은 정확히 제곱수 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$입니다. 한 변 길이 $1, 3, 5, 7$은 $1$

[4] #5 3.OA.D.9 $15$가 몇 번째 홀수인지 찾습니다. 홀수는 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ 이므로 $15$는 $8$ 번째 홀수, 즉 $k

[5] #5 3.OA.C.7 $k = 8$을 패턴에 대입합니다.

검토

합리성 확인: 다른 각도로 패턴을 점검합니다. 한 변이 홀수 $s = 2k - 1$ 인 바닥에서 흰 타일은 "홀수 가로 줄 $\times$ 홀수 세로 줄" 교차점들이라 $k \times k$ 격자 모양 — 즉 $k^2$ 개. $s = 7$이면 $k = 4$, $k^2 = 16$으로 그림과 일치. $s = 15$이면 $k = 8$, $k^2 = 64$. 전체 $15 \times 15 = 225$ 타일 중 $64$ 개가 흰색이라는 결과는 검은 줄무늬가 바닥의 대부분을 덮는다는 직관에도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 여집합 계산을 할 수도 있습니다. $15 \times 15$의 전체 타일 수는 $225$. 검은 가로 줄은 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ 번째 ($7$ 줄 $\times$ $15$ 칸 $= 105$). 검은 세로 줄도 같은 자리에 $7$ 줄 ($105$ 칸). 겹치는 칸(검은 가로 줄과 검은 세로 줄이 만나는 부분)은 $7 \times 7 = 49$ 칸, 이미 두 번 셌으므로 한 번 빼 줍니다. 검은 타일 $= 105 + 105 - 49 = 161$, 흰 타일 $= 225 - 161 = 64$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.G.A.2 직사각형을 같은 크기의 가로·세로 칸으로 분할 ($7 \times 7$ 그림과 $3 \times 3$, $5 \times 5$ 작은 바닥에서 홀수 위치의 가로·세로 줄을 읽어 흰 타일 수를 세는 데 사용.)
3.OA.C.7 $100$ 이내 곱셈·나눗셈을 능숙히 수행 (패턴 $k^2$를 알아낸 뒤 $8 \times 8 = 64$를 계산하는 데 사용.)
3.OA.D.9 산술 패턴을 찾고 연산 성질로 설명 ($1, 3, 5, 7, \dots$ 가 홀수열임을 알고 $15$가 $8$ 번째 홀수임을 찾는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 만들기 ($1, 4, 9, 16$의 결과를 $k$ 번째 홀수 변 바닥에 대해 $k^2$로 일반화하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "제곱수로 이어지는 패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!

그림