경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2017 · #11

학년 4 geometry-2dpattern
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence
perfect-squaresparitypattern-recognitionspatial-visualization pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticparity
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제
정사각형 모양의 바닥이 똑같이 생긴 정사각형 타일로 빈틈없이 덮여 있어서, 한 변에 타일이 n개씩 깔린 n × n 격자가 됩니다. 두 대각선 위에 놓인 타일을 모두 세어 보니 37개였다고 할 때, 바닥 전체에 깔린 타일은 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
148
(B)
324
(C)
361
(D)
1296
(E)
1369

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

한 변의 길이 n을 모르는 상태에서 37이라는 숫자만 보고 n²을 바로 떠올리기는 어렵습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)의 방식대로 바닥을 줄여서 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 격자를 직접 그려(도구 #1) 대각선 위 타일을 세어 봅니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기)로 "n이 홀수면 2n - 1개, 짝수면 2n개"라는 규칙이 보입니다. 37이 홀수이므로 n도 홀수여야 하고, 2n - 1 = 37로 n이 곧장 정해집니다. 마지막으로 n²을 계산하면 됩니다.

1STEP 1

작은 바닥 먼저 해 보기

작은 격자를 그려 대각선 타일을 세면, n = 2, 3, 4, 5 에서 4, 5, 8, 9 가 나옵니다.

n=2: 2+2=4 n=3: 3+3-1=5 n=4: 4+4=8 n=5: 5+5-1=9
2STEP 2

대각선 타일 규칙 찾기

값을 나란히 보면 짝수 n은 2n, 홀수 n은 2n - 1 — 총합의 홀짝이 곧 n의 홀짝입니다.

대각선 타일 수 = 2n & n 이 짝수 ; 2n - 1 & n 이 홀수
3STEP 3

한 변의 길이 구하기

37은 홀수이니 n도 홀수 — 2n - 1 = 37을 풀면 n = 19 입니다.

2n - 1 = 37 → 2n = 38 → n = 19
4STEP 4

19를 제곱해 전체 세기

전체 타일 = 19 × 19 격자의 넓이 = (20 - 1)² = 400 - 40 + 1 = 361, 정답 (C).

n² = 19 × 19 = 361 → (C)
정답
361
선택지를 먼저 점검합니다. (A) 148은 완전제곱수가 아니므로 n² 형태가 될 수 없어 탈락. (D) 1296 = 36²이면 n = 36(짝수)이므로 대각선 타일은 2 × 36 = 72개가 되어 37과 어긋남 — 탈락. (E) 1369 = 37²이면 n = 37(홀수)이므로 대각선 타일은 2 × 37 - 1 = 73개가 되어 어긋남 — 탈락. (B) 324 = 18²이면 n = 18(짝수)이므로 대각선 타일은 36개가 되어 어긋남 — 탈락. (C) 361 = 19²이면 n = 19(홀수)이고 대각선 타일은 2 × 19 - 1 = 37개로 문제와 정확히 일치합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙 찾아 패턴 만들기"와 "두 자리 수 곱셈"만 알면 풀 수 있어요!

  • 작은 바닥 먼저 해 보기
  • 대각선 타일 규칙 찾기
  • 한 변의 길이 구하기
  • 19를 제곱해 전체 세기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

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