AMC 8 · 2011 · #17

쉬운 모드 학년 6

문제

기호 $2^w$ 는 $2$ 를 $w$ 번 곱한 값, $3^x$ 는 $3$ 을 $x$ 번 곱한 값, $5^y$ , $7^z$ 도 같은 방식이에요. 여기서 $w, x, y, z$ 는 $0$ 이상의 정수( $0, 1, 2, 3, \ldots$ )입니다. 그리고 어떤 수든 $0$ 제곱은 $1$ 이 된다는 점을 기억하세요.

이 $w, x, y, z$ 가 다음 식을 만족한다고 합시다:
$2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588.$

$w$ , $x$ , $y$ , $z$ 를 모두 구한 다음, $2w + 3x + 5y + 7z$ 의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정수 $w$, $x$, $y$, $z$ 가 $2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588$을 만족할 때, $2w + 3x + 5y + 7z$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588$; $w$, $x$, $y$, $z$ 는 0 이상의 정수 (whole number); 밑인 $2, 3, 5, 7$은 모두 소수; 선택지: (A) $21$, (B) $25$, (C) $27$, (D) $35$, (E) $56$

구하는 것: 일차식 $2w + 3x + 5y + 7z$ 의 값

이해

문제 재정리: 정수 $w$, $x$, $y$, $z$ 가 $2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588$을 만족할 때, $2w + 3x + 5y + 7z$ 의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기

$2w + 3x + 5y + 7z$ 는 네 개의 미지의 지수에 의존하므로, 문제는 깔끔한 두 개의 작은 문제로 나뉩니다(도구 #7): (1) $588$을 소인수분해하고, (2) 지수를 맞춰 $w, x, y, z$ 를 읽어낸 뒤 대입합니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 "곱 $588$이 주어졌으니, 거꾸로 거슬러 올라가 지수를 복원한다" 는 흐름을 그대로 잡아 줍니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 일부러 피합니다 — 식 변형이 필요 없고, 소인수를 뽑아 지수를 맞추는 것만으로 충분하기 때문입니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

588을 소인수분해하기

작은 문제 1: $588$을 소인수분해합니다.
가장 작은 소수부터 차례로 나눠 떨어지는 만큼 빼냅니다.
$588$은 짝수이므로 $2$로 두 번 나누면 $588 = 2 \cdot 294 = 2 \cdot 2 \cdot 147$.
$147$의 자릿수 합은 $1+4+7=12$로 $3$의 배수이므로 $147 = 3 \cdot 49$, 마지막으로 $49 = 7 \cdot 7$.

$$588 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2$$

💡 약수 쌍을 찾고 소수와 합성수를 가려내는 것은 4학년 표준 4.OA.B.4 그대로입니다 — 정수는 소수들의 곱으로 표현된다는 사실.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.A.1 단계 2

지수 맞추기

작은 문제 2: 지수를 맞춥니다.
도구 #11(거꾸로 풀기)로 $2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2$의 양변에서 같은 밑끼리 지수를 읽어 옵니다.
$588$ 에는 소인수 $5$가 없으므로 $5^y = 1$, 따라서 $y = 0$ (0이 아닌 수의 0제곱은 1).

$$w = 2, \;\; x = 1, \;\; y = 0, \;\; z = 2$$

💡 소인수분해에서 지수를 읽어 오는 것은 6학년의 "정수 지수" 표준 6.EE.A.1을 거꾸로 적용하는 것 — 값으로부터 지수를 복원합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 3

값 대입해 계산하기

구한 네 값을 목표 식에 대입해 계산합니다.

$$2w + 3x + 5y + 7z = 2(2) + 3(1) + 5(0) + 7(2) = 4 + 3 + 0 + 14 = 21 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 곱셈과 덧셈이 섞인 수식을 연산 순서에 맞춰 계산하는 것은 5학년 표준 5.OA.A.1입니다.

[1] #7 4.OA.B.4 작은 문제 1: $588$을 소인수분해합니다. 가장 작은 소수부터 차례로 나눠 떨어지는 만큼 빼냅니다. $588$은 짝수이므로 $2$로 두 번

[2] #11 6.EE.A.1 작은 문제 2: 지수를 맞춥니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)로 $2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 2^2 \cdo

[3] #7 5.OA.A.1 구한 네 값을 목표 식에 대입해 계산합니다.

검토

합리성 확인: 소인수분해를 역으로 확인: $2^2 \cdot 3 \cdot 7^2 = 4 \cdot 3 \cdot 49 = 12 \cdot 49 = 588$. ✓ 지수들은 모두 작은 정수로, AMC 8 수준에 어울리는 크기입니다. 최종 값 $21$은 다섯 선택지 중 가장 작은 값인데, 대부분의 지수가 $0, 1, 2$로 매우 작으므로 합도 작게 나오는 것이 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 좁힐 수도 있습니다. $588$은 $0$ 이나 $5$로 끝나지 않으므로 $5$의 배수가 아니고, 따라서 $y = 0$이 강제되어 $5y$ 항이 사라집니다. 남는 $2w + 3x + 7z$ 는 작은 비음 지수들의 합인데, $588 = 4 \cdot 3 \cdot 49$ 라는 깔끔한 분해와 들어맞는 값은 $4 + 3 + 14 = 21$ 뿐이므로 (A)가 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 약수 쌍 찾기, 소수·합성수 구분 ($588$을 가장 작은 소수부터 차례로 나누어 $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$의 소인수들로 분해.)
6.EE.A.1 정수 지수를 포함한 수식 쓰기·계산하기 ($2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2$를 $588$의 유일한 지수 표현으로 읽고 $w = 2, x = 1, y = 0, z = 2$를 복원.)
5.OA.A.1 괄호 등을 사용한 수식 만들기·계산하기 ($2(2) + 3(1) + 5(0) + 7(2) = 21$을 연산 순서에 맞게 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 정수 지수 — $588$을 소인수분해해서 지수를 읽고 대입하기 — 만 알면 풀 수 있어요!