경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2011 · #17
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
2w + 3x + 5y + 7z 는 네 개의 미지의 지수에 의존하므로, 문제는 깔끔한 두 개의 작은 문제로 나뉩니다(도구 #7): (1) 588을 소인수분해하고, (2) 지수를 맞춰 w, x, y, z 를 읽어낸 뒤 대입합니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 "곱 588이 주어졌으니, 거꾸로 거슬러 올라가 지수를 복원한다" 는 흐름을 그대로 잡아 줍니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 일부러 피합니다 — 식 변형이 필요 없고, 소인수를 뽑아 지수를 맞추는 것만으로 충분하기 때문입니다.
588을 소인수분해하기
588 에서 2를 두 번, 147 에서 3을 빼내면 49 = 7 · 7이 남아 588 = 2² · 3¹ · 7² 입니다.
약수 쌍을 찾고 소수와 합성수를 가려내는 것은 4학년 표준 4.OA.B.4 그대로입니다 — 정수는 소수들의 곱으로 표현된다는 사실.
4.OA.B.4Identify Subproblems지수 맞추기
같은 밑끼리 지수를 읽습니다; 소인수 5가 없으므로 y = 0, 그리고 w = 2, x = 1, z = 2.
소인수분해에서 지수를 읽어 오는 것은 6학년의 "정수 지수" 표준 6.EE.A.1을 거꾸로 적용하는 것 — 값으로부터 지수를 복원합니다.
2^w · 3^x · 5^y · 7^z를 588과 비교하면 네 지수는 각각 단 하나의 정수로 정해진다.
▸ 왜?
588에 실제로 들어 있는 소수 2, 3, 7에 대해서는, 왼쪽 식이 각 소수를 588과 똑같은 횟수만큼 담고 있어야 한다. 정수를 소수의 곱으로 나누는 방법은 오직 한 가지뿐이기 때문이다.
▸ 왜?
1보다 큰 모든 정수는 순서를 제외하면 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱이 되므로, 588에서 소수를 어떤 순서로 꺼내든 언제나 같은 소수가 같은 횟수만큼 나온다 — 각 밑의 지수는 오직 588이 정하며 다른 값이 될 수 없다.
▸ 왜?
588을 나눌 때 전혀 나타나지 않는 소수 5에 대해서는, 왼쪽 식이 5라는 인수를 하나도 가지면 안 되므로 5^y이 1이어야 하고 y는 0까지 내려가야 한다.
▸ 왜?
1이라는 인수는 아무것도 곱하지 않아 곱을 그대로 두므로, 5 부분은 1을 유지할 때만 588에 들어맞는다 — 5를 하나라도 끼워 넣으면 수가 바뀐다.
값 대입해 계산하기
w = 2, x = 1, y = 0, z = 2를 2w + 3x + 5y + 7z 에 대입하면 21 이 나옵니다.
곱셈과 덧셈이 섞인 수식을 연산 순서에 맞춰 계산하는 것은 5학년 표준 5.OA.A.1입니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 정수 지수 — 588을 소인수분해해서 지수를 읽고 대입하기 — 만 알면 풀 수 있어요!
- 588을 소인수분해하기
- 지수 맞추기
- 값 대입해 계산하기
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