AMC 8 · 2012 · #6

쉬운 모드 학년 4

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문제

높이 $8$ 인치, 너비 $10$ 인치인 사진 한 장이 액자 안에 들어 있다고 생각해봅시다.

액자는 사진의 사방에 폭 $2$ 인치짜리 테두리를 둘러줍니다.

테두리 부분만의 넓이는 몇 제곱인치일까요?

그림

10×8 사진이 액자 안에 있고, 테두리는 사방으로 2인치 폭입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 높이 $8$ 인치, 너비 $10$ 인치인 직사각형 사진이 사방으로 폭 $2$ 인치의 테두리가 있는 액자 안에 들어 있습니다. 사진을 제외한 테두리(액자 부분)의 넓이를 제곱인치 단위로 구하세요.

주어진 것: 사진 크기: 높이 $8$ 인치, 너비 $10$ 인치; 테두리 폭: 사방(위·아래·왼쪽·오른쪽) 모두 $2$ 인치; 선택지: (A) $36$, (B) $40$, (C) $64$, (D) $72$, (E) $88$ (제곱인치)

구하는 것: 사진 주위 테두리(액자 띠)의 넓이 (제곱인치)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

테두리는 가운데가 뚫린 띠 모양이라 한 번에 넓이를 재기 어렵습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이 문제를 두 개의 쉬운 직사각형으로 바꿉니다 — 바깥쪽 큰 직사각형(사진 $+$ 테두리)의 넓이를 구하고, 안쪽 사진의 넓이를 구한 다음 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 도구입니다. 사진과 액자를 그리고 각 변의 길이를 표시해 두면, 테두리 $2$ 인치를 각 변의 한쪽이 아니라 양쪽 모두에 더해야 한다는 점을 놓치지 않게 됩니다 — 이게 이 문제에서 가장 흔한 실수 지점이에요.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 4.MD.A.3 단계 1

바깥 가로세로 구하기

그림을 그립니다.
$8 \times 10$ 사진을 그리고 그 둘레에 두께 $2$ 인치의 테두리를 그립니다.
바깥 직사각형의 높이는 위쪽에 $2$ 인치, 아래쪽에도 $2$ 인치를 더해야 하고, 너비도 왼쪽 $2$ 인치, 오른쪽 $2$ 인치를 모두 더해야 합니다.

$$\text{바깥 높이} = 2 + 8 + 2 = 12 \text{ 인치}, \quad \text{바깥 너비} = 2 + 10 + 2 = 14 \text{ 인치}$$

💡 라벨이 붙은 그림을 그리면 각 변에서 테두리를 두 번 더해야 한다는 사실이 눈에 보입니다 — 이 문제의 핵심 함정입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 2

바깥 넓이 구하기

바깥 직사각형(사진 $+$ 테두리)의 넓이를 구합니다.
직사각형 넓이 공식 "가로 $\times$ 세로" 를 씁니다.

$$\text{바깥 넓이} = 12 \times 14 = 168 \text{ in}^2$$

💡 바깥 직사각형이 첫 번째 작은 문제 — 평범한 직사각형이라 "가로 $\times$ 세로" 공식으로 깔끔하게 계산됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 3

사진 넓이 구하기

안쪽 직사각형(사진 자체)의 넓이를 구합니다.

$$\text{사진 넓이} = 8 \times 10 = 80 \text{ in}^2$$

💡 사진이 두 번째 작은 문제 — 역시 똑같이 가로 곱하기 세로로 구하는 직사각형입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 4

빼서 테두리 넓이 구하기

바깥 넓이에서 사진 넓이를 뺍니다.
남는 부분이 바로 테두리 띠의 넓이입니다.

$$\text{테두리 넓이} = 168 - 80 = 88 \text{ in}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 "큰 도형 $-$ 안쪽 도형 $=$ 둘러싼 띠" 가 바로 도구 #7(쪼개기 후 빼기)의 핵심 동작입니다.

[1] #1 4.MD.A.3 그림을 그립니다. $8 \times 10$ 사진을 그리고 그 둘레에 두께 $2$ 인치의 테두리를 그립니다. 바깥 직사각형의 높이는 위쪽에 $2$

[2] #7 4.MD.A.3 바깥 직사각형(사진 $+$ 테두리)의 넓이를 구합니다. 직사각형 넓이 공식 "가로 $\times$ 세로" 를 씁니다.

[3] #7 3.MD.C.7 안쪽 직사각형(사진 자체)의 넓이를 구합니다.

[4] #7 3.NBT.A.2 바깥 넓이에서 사진 넓이를 뺍니다. 남는 부분이 바로 테두리 띠의 넓이입니다.

검토

합리성 확인: 크기가 말이 되는지 확인: $8 \times 10$ 사진의 넓이가 $80$ 인데, 사방 $2$ 인치 테두리는 대략 사진 둘레 $2 \times (8+10) = 36$ 인치에 폭 $2$ 인치를 곱한 약 $72$와, 네 모서리 정사각형 $4 \times (2 \times 2) = 16$을 더한 $88$ 정도여야 합니다. 답 (E)와 정확히 일치하고, $72$ 보다는 크고 사진 자체보다는 약간 크다는 점에서 합리적인 크기입니다.

대안 접근: 도구 #7로 테두리를 다르게 쪼갤 수도 있어요 — 네 모서리 정사각형 $+$ 위·아래·좌·우 직사각형 띠로 나누는 방법입니다. 네 모서리: $4 \times (2 \times 2) = 16$. 사진 위·아래의 가로 띠 두 개: $2 \times (2 \times 10) = 40$. 사진 좌·우의 세로 띠 두 개: $2 \times (2 \times 8) = 32$. 합: $16 + 40 + 32 = 88$ in$^2$. 완전히 다른 방식으로 나눴는데도 같은 답 (E)가 나오는 게 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈과 연결하기 (사진 넓이를 $8 \times 10 = 80$ in$^2$으로 계산할 때 직사각형 넓이 공식을 적용.)
4.MD.A.3 실생활·수학 문제에서 직사각형의 둘레·넓이 공식 적용 (각 변의 양 끝에 $2$ 인치 테두리를 더해 바깥 직사각형의 크기를 $12 \times 14$로 구하고, 그 넓이를 $168$ in$^2$로 계산.)
3.NBT.A.2 $1000$ 이내의 덧셈과 뺄셈을 유창하게 수행 (테두리 넓이만 분리하기 위해 바깥 넓이에서 사진 넓이를 빼는 계산 $168 - 80 = 88$ in$^2$에 사용.)

⭐ 사진을 둘러싼 테두리는 "바깥 직사각형 $-$ 안쪽 사진" 일 뿐 — 4학년 직사각형 넓이만 알면 풀 수 있어요!

그림