AMC 8 · 2015 · #8

쉬운 모드 학년 6

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문제

삼각형 하나를 떠올려봅시다. 한 변의 길이가 $5$ 이고, 다른 한 변의 길이는 $19$ 입니다. 나머지 한 변은 여러 가지 길이가 될 수 있어요.

삼각형의 둘레는 세 변을 모두 더한 값입니다. 나머지 변의 길이에 따라 둘레도 여러 값이 가능하지요.

가능한 모든 둘레보다 큰, 가장 작은 자연수는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 변의 길이가 $5$와 $19$ 인 삼각형이 있습니다. 세 번째 변의 길이는 실제로 삼각형을 만들 수 있는 값이라면 무엇이든 될 수 있습니다. 어떤 세 번째 변을 잡아도 둘레보다 크면서 가장 작은 자연수를 구하세요.

주어진 것: 한 변 $a = 5$; 다른 한 변 $b = 19$; 세 번째 변 $x$ 는 실제로 삼각형이 만들어지는 어떤 값이라도 가능; 선택지: (A) $24$, (B) $29$, (C) $43$, (D) $48$, (E) $57$

구하는 것: 가능한 모든 둘레 $P = 5 + 19 + x = 24 + x$ 보다 크면서 가장 작은 자연수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 비슷한 문제 풀어보기, #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기

핵심은 "$x$ 가 어떤 값까지 허용되는가" 입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 이걸 곧장 보여줄 수 있습니다 — 길이 $19$ 짜리 변을 바닥에 깔고, 길이 $5$ 짜리 변을 한쪽 끝에 붙여 시곗바늘처럼 돌립니다. 두 변이 일직선으로 뻗을 때 자유로운 끝점은 최대 $19 + 5 = 24$, 안쪽으로 접힐 때 최소 $19 - 5 = 14$에 도달하므로 $x$ 는 $14 < x < 24$를 만족해야 합니다(양 끝값에서는 삼각형이 직선으로 무너집니다). 도구 #9(더 쉬운 비슷한 문제)로 변 $3, 4$ 같은 작은 수에서 같은 규칙($1 < x < 7$)을 확인해 두면 안심됩니다. $x < 24$가 보장되면 둘레 $P = 24 + x < 48$이 되고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지에서 가능한 모든 둘레를 넘는 가장 작은 자연수를 골라냅니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

삼각형 그림 그리기

상황을 그림으로 그려 봅니다.
길이 $19$ 인 변을 바닥에 쭉 깔고, 한쪽 끝에 길이 $5$ 인 변을 시곗바늘처럼 붙여 돌립니다.
세 번째 변 $x$ 는 길이 $5$ 짜리 변의 자유로운 끝점에서 길이 $19$ 짜리 변의 반대편 끝까지 잇는 선분입니다.

💡 그림으로 그리면 "이게 정말 삼각형이 될까?" 라는 추상적인 질문이 눈에 보이는 문제로 바뀝니다. 길이 $5$가 $19$와 같은 방향으로 뻗으면 끝점은 $24$, 반대쪽으로 접히면 끝점은 $14$에 옵니다.

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 2

변의 범위 읽어내기

그림에서 한계값을 읽어 냅니다.
길이 $5$ 짜리 변이 도는 동안 $x$ 는 (바깥쪽으로 거의 펴진 삼각형의 경우) $24$에 한없이 가까워질 수 있고, (안쪽으로 거의 접힌 경우) $14$ 에도 한없이 가까워질 수 있지만, 그 값에 정확히 도달하지는 못합니다 — 도달하는 순간 세 변이 일직선이 되어 삼각형이 사라지기 때문입니다.

$$14 < x < 24$$

💡 이게 그림으로 발견한 삼각형 부등식입니다 — 세 번째 변은 나머지 두 변의 차이보다는 길고 합보다는 짧아야 합니다.

#9 더 쉬운 비슷한 문제 풀어보기 4.G.A.2 단계 3

쉬운 예로 규칙 확인하기

더 쉬운 비슷한 문제로 규칙을 확인합니다.
변 $3, 4$의 경우 같은 방식으로 $4 - 3 < x < 4 + 3$, 즉 $1 < x < 7$입니다.
$x = 7$을 시도해 보면 $3 + 4 = 7$이라 삼각형이 일직선으로 무너집니다 — 규칙이 맞음을 확인.

$$\text{변 } 3, 4 \Rightarrow 1 < x < 7$$

💡 작은 수에서 규칙을 시험해 보는 것이 도구 #9의 역할입니다. 실제 숫자에 적용하기 전에 부등식이 흔들리지 않는지 확인해 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.8 단계 4

둘레의 범위 구하기

둘레를 $x$ 의 식으로 적은 뒤 $x$ 의 범위를 대입합니다.
$x$ 는 $24$ 보다 엄격히 작으므로 둘레는 $24 + 24 = 48$ 보다 엄격히 작습니다.
둘레는 $48$에 한없이 가까워질 수 있지만(예: $x = 23.99$이면 $P = 47.99$) 정확히 $48$에 도달하지는 못합니다.

$$P = 5 + 19 + x = 24 + x < 24 + 24 = 48$$

💡 부등식 $x < 24$ 양변에 같은 수를 더하면 부등호가 그대로 유지되는 것은 6학년 부등식 다루기 그대로입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.8 단계 5

가장 작은 자연수 고르기

모든 가능한 둘레를 넘는 가장 작은 자연수를 찾습니다.
선택지를 차례로 시험합니다.
$47$은 $P$ 가 $47.5$ 일 수 있어서 탈락.
$48$은 항상 $P < 48$ 이므로 통과.
더 큰 $57$도 통과하지만 가장 작지 않으므로 답은 $48$.

$$P < 48 \Rightarrow P \text{ 보다 큰 가장 작은 자연수는 } 48 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 선택지를 경계값에 맞춰 대조해 보는 것이 도구 #6(추측하고 확인하기)의 마무리 동작입니다 — 열린 경계 바로 위에 앉아 있는 가장 작은 자연수가 정답입니다.

[1] #1 4.G.A.2 상황을 그림으로 그려 봅니다. 길이 $19$ 인 변을 바닥에 쭉 깔고, 한쪽 끝에 길이 $5$ 인 변을 시곗바늘처럼 붙여 돌립니다. 세 번째 변

[2] #1 4.G.A.2 그림에서 한계값을 읽어 냅니다. 길이 $5$ 짜리 변이 도는 동안 $x$ 는 (바깥쪽으로 거의 펴진 삼각형의 경우) $24$에 한없이 가까워질

[3] #9 4.G.A.2 더 쉬운 비슷한 문제로 규칙을 확인합니다. 변 $3, 4$의 경우 같은 방식으로 $4 - 3 < x < 4 + 3$, 즉 $1 < x < 7$입

[4] #7 6.EE.B.8 둘레를 $x$ 의 식으로 적은 뒤 $x$ 의 범위를 대입합니다. $x$ 는 $24$ 보다 엄격히 작으므로 둘레는 $24 + 24 = 48$ 보다

[5] #6 6.EE.B.8 모든 가능한 둘레를 넘는 가장 작은 자연수를 찾습니다. 선택지를 차례로 시험합니다. $47$은 $P$ 가 $47.5$ 일 수 있어서 탈락. $4

검토

합리성 확인: 경계값을 점검해 봅시다. 허용되는 $x$ 를 하나 고르면, 예컨대 $x = 20$ 일 때 세 변 $5, 19, 20$은 $5 + 19 = 24 > 20$으로 실제 삼각형이고 $P = 44 < 48$입니다. 한계에 가깝게 $x = 23.9$로 두면 $P = 47.9 < 48$. 한계를 넘겨 $x = 24$로 두면 변 $5, 19, 24$는 $5 + 19 = 24$ 라 일직선이 되어 삼각형이 아닙니다. 경계는 정확히 $48$에 있고, 답 (D)와 일치합니다.

대안 접근: 삼각형 부등식을 대수적으로(도구 #13) 쓸 수도 있습니다. 변 $5, 19, x$ 에서 각 변은 나머지 두 변의 합보다 작아야 합니다. 결정적인 조건은 $x < 5 + 19 = 24$(나머지 둘은 $x > 14$와 자명한 $19 + x > 5$). 따라서 $P = 24 + x < 48$, 이 열린 상한보다 큰 가장 작은 자연수는 $48$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.G.A.2 성질에 따라 이차원 도형 분류하기 (세 변의 길이가 실제로 삼각형을 이루는지 아니면 일직선으로 무너지는지를 가리는 4학년 도형 성질 논증을, 회전하는 변 그림으로 시각화하여 적용.)
6.EE.B.8 제약을 표현하는 부등식을 쓰고 그 해를 인식하기 (기하적 한계 $14 < x < 24$를 둘레 부등식 $P = 24 + x < 48$로 옮기고, 열린 상한 바로 위에 있는 가장 작은 자연수를 읽어 내는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 부등식 추론만 있으면 풀려요 — 세 번째 변이 $5 + 19 = 24$를 넘을 수 없다는 걸 보는 순간 둘레의 상한 $48$도 같이 따라 나옵니다!