AMC 8 · 2017 · #11

쉬운 모드 학년 4

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문제

정사각형 모양의 바닥이 정사각형 타일로 빈틈없이 덮여 있다고 떠올려 봅시다. 타일들은 모두 크기가 같고, 격자처럼 가지런히 놓여 있어요.

이제 바닥의 두 대각선을 그어 봅시다. 두 대각선은 지나가는 타일들을 모두 가로지르며 통과해요.

두 대각선 중 어느 한쪽이라도 지나가는 타일을 모두 세어 보니 $37$ 개였습니다.

그렇다면 바닥 전체를 덮은 타일은 모두 몇 개일까요?

그림

작은 홀수 격자에서 두 대각선이 지나는 타일을 세어 보자 — 가운데 타일은 공유돼요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

148

(B)

324

(C)

361

(D)

1296

(E)

1369

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 모양의 바닥이 똑같이 생긴 정사각형 타일로 빈틈없이 덮여 있어서, 한 변에 타일이 $n$개씩 깔린 $n \times n$ 격자가 됩니다. 두 대각선 위에 놓인 타일을 모두 세어 보니 $37$개였다고 할 때, 바닥 전체에 깔린 타일은 모두 몇 개일까요?

주어진 것: 바닥은 똑같은 정사각형 타일이 $n \times n$ 격자로 깔린 정사각형; 두 주대각선 위에 놓인 타일의 총 개수는 $37$개; 선택지: (A) $148$, (B) $324$, (C) $361$, (D) $1296$, (E) $1369$

구하는 것: 바닥 전체에 깔린 타일의 총 개수, 즉 $n^2$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #1 그림 그리기

한 변의 길이 $n$을 모르는 상태에서 $37$이라는 숫자만 보고 $n^2$을 바로 떠올리기는 어렵습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)의 방식대로 바닥을 줄여서 $2 \times 2$, $3 \times 3$, $4 \times 4$, $5 \times 5$ 격자를 직접 그려(도구 #1) 대각선 위 타일을 세어 봅니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기)로 "$n$이 홀수면 $2n - 1$개, 짝수면 $2n$개"라는 규칙이 보입니다. $37$이 홀수이므로 $n$도 홀수여야 하고, $2n - 1 = 37$로 $n$이 곧장 정해집니다. 마지막으로 $n^2$을 계산하면 됩니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1

작은 바닥 먼저 해 보기

먼저 작은 바닥부터 그려 봅니다.
$2 \times 2$, $3 \times 3$, $4 \times 4$, $5 \times 5$ 격자를 그리고 두 대각선 중 어느 한 쪽에라도 놓이는 타일의 개수를 직접 셉니다.
$n$이 짝수일 때는 두 대각선이 타일과 타일 사이에서 만나 겹치는 타일이 없고, $n$이 홀수일 때는 두 대각선이 정확히 한가운데 타일 한 칸을 같이 지나갑니다.

$$n=2:\;2+2=4 \quad n=3:\;3+3-1=5 \quad n=4:\;4+4=8 \quad n=5:\;5+5-1=9$$

💡 "$n \times n$ 격자의 대각선 타일을 세기"라는 규칙으로 첫 몇 개의 값을 만들어 보는 것은 4학년 "규칙을 따라 수의 패턴 만들기" 표준 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

대각선 타일 규칙 찾기

네 개의 값 $4, 5, 8, 9$를 나란히 놓고 살펴봅니다.
$n$이 짝수인 줄은 $2n$(항상 짝수), $n$이 홀수인 줄은 $2n - 1$(항상 홀수)이 됩니다.
즉 대각선 타일 총 개수의 홀짝이 곧 $n$의 홀짝을 알려줍니다.

$$\text{대각선 타일 수} = \begin{cases} 2n & n \text{이 짝수} \\ 2n - 1 & n \text{이 홀수} \end{cases}$$

💡 총합이 "짝수 가족"과 "홀수 가족"으로 나뉜다는 사실을 알아채는 것은 4학년 수준의 패턴 관찰이고, 식을 세울 필요도 없습니다.

#5 패턴 찾기 2.OA.C.3 단계 3

한 변의 길이 구하기

문제에서 대각선 위 타일이 $37$개라고 했습니다.
$37$은 홀수이므로 $n$도 반드시 홀수, 따라서 공식 $2n - 1 = 37$을 사용합니다.
양변에 $1$을 더하고 $2$로 나누면 $n$이 나옵니다.

$$2n - 1 = 37 \;\Rightarrow\; 2n = 38 \;\Rightarrow\; n = 19$$

💡 $37$이 홀수임을 알아채는 것은 2학년 "홀수·짝수 판별" 그대로이고, 앞서 찾은 패턴 공식(도구 #5)을 거꾸로 써서 $n = 19$를 한 번에 얻습니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 4

19를 제곱해 전체 세기

이제 바닥 전체의 타일 수, 즉 $19 \times 19$ 격자의 넓이를 계산합니다.
두 자리 수끼리의 곱셈을 자리값을 활용해서 $(20 - 1)(20 - 1) = 400 - 20 - 20 + 1 = 361$로 정리합니다.

$$n^2 = 19 \times 19 = 361 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 자리 수끼리의 곱셈을 자리값 전략으로 푸는 것은 4학년 "여러 자리 수 곱셈" 표준에 정확히 해당합니다.

[1] #9 4.OA.C.5 먼저 작은 바닥부터 그려 봅니다. $2 \times 2$, $3 \times 3$, $4 \times 4$, $5 \times 5$ 격자를 그리

[2] #5 4.OA.C.5 네 개의 값 $4, 5, 8, 9$를 나란히 놓고 살펴봅니다. $n$이 짝수인 줄은 $2n$(항상 짝수), $n$이 홀수인 줄은 $2n - 1$

[3] #5 2.OA.C.3 문제에서 대각선 위 타일이 $37$개라고 했습니다. $37$은 홀수이므로 $n$도 반드시 홀수, 따라서 공식 $2n - 1 = 37$을 사용합니

[4] #9 4.NBT.B.5 이제 바닥 전체의 타일 수, 즉 $19 \times 19$ 격자의 넓이를 계산합니다. 두 자리 수끼리의 곱셈을 자리값을 활용해서 $(20 - 1

검토

합리성 확인: 선택지를 먼저 점검합니다. (A) $148$은 완전제곱수가 아니므로 $n^2$ 형태가 될 수 없어 탈락. (D) $1296 = 36^2$이면 $n = 36$(짝수)이므로 대각선 타일은 $2 \times 36 = 72$개가 되어 $37$과 어긋남 — 탈락. (E) $1369 = 37^2$이면 $n = 37$(홀수)이므로 대각선 타일은 $2 \times 37 - 1 = 73$개가 되어 어긋남 — 탈락. (B) $324 = 18^2$이면 $n = 18$(짝수)이므로 대각선 타일은 $36$개가 되어 어긋남 — 탈락. (C) $361 = 19^2$이면 $n = 19$(홀수)이고 대각선 타일은 $2 \times 19 - 1 = 37$개로 문제와 정확히 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 직접 대입해 봐도 됩니다. 각 선택지 $C$에 대해 $n = \sqrt{C}$를 구하고, $n$의 홀짝에 따라 $2n$ 또는 $2n - 1$이 $37$이 되는지 확인하면 됩니다. 다섯 선택지가 모두 거의 완전제곱수임을 알아채면, 공식을 유도하지 않고도 대입만으로 답을 (C)로 좁힐 수 있어 오히려 더 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 ("$n \times n$ 격자의 두 대각선 위 타일을 세기"라는 규칙으로 $4, 5, 8, 9$의 작은 사례를 만들고, 홀짝에 따른 패턴을 관찰하는 데 사용.)
2.OA.C.3 물건의 묶음이 홀수인지 짝수인지 판별하기 ($37$이 홀수임을 알아채고, 그 결과 $n$이 홀수임을 확정해 $2n - 1$ 공식을 선택하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 여러 자리 수와 한 자리 수의 곱셈, 두 자리 수끼리의 곱셈 (최종 답인 $19 \times 19 = 361$을 $(20-1)^2$ 같은 자리값 전략으로 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙 찾아 패턴 만들기"와 "두 자리 수 곱셈"만 알면 풀 수 있어요!

그림