AMC 8 · 2017 · #8

쉬운 모드 학년 4

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문제

맬컴은 이사벨라네 집에 놀러 가고 싶지만, 집 번호를 모릅니다. 이사벨라가 힌트를 줍니다.

이사벨라는 이렇게 말해요. "우리 집 번호는 두 자리 수야. 아래 네 문장 중에서 정확히 세 개는 참이고, 한 개는 거짓이야."

(1) 그 수는 소수이다.

(2) 그 수는 짝수이다.

(3) 그 수는 $7$ 로 나누어떨어진다.

(4) 그 수의 자릿수 중 하나는 $9$ 이다.

이 힌트만으로 맬컴은 집 번호를 단 하나로 정할 수 있었어요. 즉, 위의 네 문장으로 가능한 두 자리 수는 딱 한 개뿐입니다.

그 집 번호의 일의 자리 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이사벨라의 집 번호는 두 자리 수입니다. 그 수에 대한 네 가지 문장 — (1) 소수이다, (2) 짝수이다, (3) $7$의 배수이다, (4) 자릿수 중 하나가 $9$이다 — 중에서 정확히 세 개가 참이고 하나가 거짓입니다. 이 조건만으로 집 번호가 하나로 정해지며, 그 수의 일의 자리 숫자를 구해야 합니다.

주어진 것: 집 번호는 두 자리 수 ($10$ 이상 $99$ 이하); 네 문장 중 정확히 세 개가 참, 하나가 거짓; 문장 (1): 그 수는 소수이다; 문장 (2): 그 수는 짝수이다; 문장 (3): 그 수는 $7$로 나누어 떨어진다; 문장 (4): 자릿수 중 하나가 $9$이다; 일의 자리에 대한 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: 이사벨라의 집 번호의 일의 자리 숫자

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

네 문장 중 거짓이 정확히 하나라는 조건은 도구 #3(가능성 지우기)에 딱 들어맞습니다 — 각 문장을 "거짓 후보" 로 두고 모순이 생기는 경우를 지워 나가면 됩니다. 두 자리 수라는 조건 아래에서 (1) "소수" 는 (2) "짝수"와 충돌하고(짝수인 소수는 $2$ 뿐인데 한 자리), (3) "$7$의 배수" 와도 충돌합니다($7$의 배수인 소수는 $7$ 뿐인데 한 자리). 따라서 거짓이 될 수 있는 것은 (1) 뿐이고, (2)·(3)·(4)는 모두 참이 됩니다. 그 다음은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 차례 — $\mathrm{lcm}(2,7) = 14$의 두 자리 배수를 순서대로 적은 뒤 $9$ 라는 자릿수를 가진 수만 남기면 됩니다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 1

첫 번째 모순 찾기

두 자리 수라는 조건 아래에서 네 문장 사이의 모순을 찾습니다.
(1) "소수" 와 (2) "짝수" 가 동시에 참이려면 그 수는 짝수인 소수, 즉 $2$ 여야 하지만 $2$는 한 자리 수입니다.
따라서 (1)과 (2)는 동시에 참일 수 없습니다.

$\text{소수} \cap \text{짝수} = \{2\}$, 그리고 $2$는 한 자리 수

💡 짝수인 소수가 $2$ 뿐이라는 사실은 4학년 "약수·배수 인식, 소수·합성수 판별" 의 기본 사용 사례입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 2

두 번째 모순 찾기

같은 방식으로 (1)과 (3)도 충돌합니다.
소수이면서 $7$의 배수인 수는 $7$ 하나뿐인데, $7$ 역시 한 자리 수입니다.
따라서 (1)과 (3)도 동시에 참일 수 없습니다.

$\text{소수} \cap \text{$7$의 배수} = \{7\}$, 그리고 $7$은 한 자리 수

💡 $7$의 배수가 소수가 되는 경우를 따지는 것도 4학년 약수·배수와 소수 판별 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

거짓인 설명 찾아내기

이 두 모순을 이용해 거짓 문장을 좁힙니다.
만약 (1)이 참이라면 1·2단계에 의해 (2)와 (3)이 모두 거짓이어야 하는데, 그러면 거짓이 두 개가 되어 "정확히 하나만 거짓" 이라는 조건에 어긋납니다.
따라서 거짓인 단 하나의 문장은 (1)이고, (2)·(3)·(4)는 모두 참입니다.

$(1) \text{ 참} \Rightarrow (2), (3) \text{ 모두 거짓}$ — "거짓은 정확히 하나" 조건과 모순

💡 "(1)이 참" 이라는 가능성을 지우면 "(1)이 거짓" 만 남는, 유한한 경우의 가능성 지우기 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

14의 배수 나열하기

참으로 남은 세 문장을 후보 찾기로 옮깁니다.
짝수이면서 $7$의 배수이므로 그 수는 $\mathrm{lcm}(2,7) = 14$의 배수입니다.
두 자리 수 범위에서 $14$의 배수를 도구 #2로 순서대로 빠짐없이 나열합니다.

$$14, \; 28, \; 42, \; 56, \; 70, \; 84, \; 98$$

💡 $10$~$99$ 범위에서 $14$의 배수를 적는 것은 4학년 "배수 인식" 활동입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 1.NBT.B.2 단계 5

숫자 9 단서 적용하기

마지막 참 문장 (4)를 적용합니다.
자릿수 중 하나가 $9$ 여야 하는데, 목록 $\{14, 28, 42, 56, 70, 84, 98\}$ 에서 $9$를 포함하는 수는 $98$ 뿐입니다.
따라서 집 번호는 $98$이고, 일의 자리 숫자는 $8$입니다.

$$98 \Rightarrow \text{일의 자리} = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 두 자리 수에서 일의 자리(낱개) 숫자를 읽어내는 것은 1학년 자릿값 표준 그대로입니다.

[1] #3 4.OA.B.4 두 자리 수라는 조건 아래에서 네 문장 사이의 모순을 찾습니다. (1) "소수" 와 (2) "짝수" 가 동시에 참이려면 그 수는 짝수인 소수,

[2] #3 4.OA.B.4 같은 방식으로 (1)과 (3)도 충돌합니다. 소수이면서 $7$의 배수인 수는 $7$ 하나뿐인데, $7$ 역시 한 자리 수입니다. 따라서 (1)과

[3] #3 4.OA.B.4 이 두 모순을 이용해 거짓 문장을 좁힙니다. 만약 (1)이 참이라면 1·2단계에 의해 (2)와 (3)이 모두 거짓이어야 하는데, 그러면 거짓이

[4] #2 4.OA.B.4 참으로 남은 세 문장을 후보 찾기로 옮깁니다. 짝수이면서 $7$의 배수이므로 그 수는 $\mathrm{lcm}(2,7) = 14$의 배수입니다.

[5] #2 1.NBT.B.2 마지막 참 문장 (4)를 적용합니다. 자릿수 중 하나가 $9$ 여야 하는데, 목록 $\{14, 28, 42, 56, 70, 84, 98\}$ 에

검토

합리성 확인: $98$이 네 문장 중 정확히 세 개를 만족하는지 확인합니다. (1) 소수? $98 = 2 \times 49$ 이므로 합성수 — 거짓 (조건과 일치). (2) 짝수? 참. (3) $7$의 배수? $98 = 7 \times 14$ 이므로 참. (4) 자릿수에 $9$? 십의 자리가 $9$ 이므로 참. 거짓 하나, 참 셋으로 조건과 정확히 맞아떨어지고, 일의 자리 $8$은 선택지 (D)와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 직접 대입해 봅니다. 각 선택지가 곧 "일의 자리" 후보이므로, 문장 (3)에 따라 그 일의 자리를 갖는 두 자리 $7$의 배수를 적고, 문장 (4)에 따라 십의 자리나 일의 자리가 $9$ 인지를 확인합니다. (D) 일의 자리 $= 8$의 경우 두 자리 $7$의 배수는 $28, 98$ 인데, 그 중 $9$를 포함하면서 짝수인 수는 $98$ 하나뿐 — "맬컴이 유일하게 결정할 수 있다" 라는 조건과 정확히 맞습니다. 다른 선택지는 해당 조건을 만족하는 수가 $0$ 개이거나 둘 이상이라 (D)가 강제됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 약수쌍 모두 찾기, 배수 인식, 소수·합성수 판별 (짝수인 소수가 $2$ 뿐, $7$의 배수인 소수가 $7$ 뿐임을 이용해 모순을 찾고, 후보군으로 두 자리 $14$의 배수를 나열하는 데 사용.)
1.NBT.B.2 두 자리 수의 두 숫자가 십의 자리·일의 자리를 나타냄을 이해 (확정된 집 번호 $98$ 에서 일의 자리 숫자 $8$을 읽어 답을 결정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수와 배수" 개념만 알면 풀 수 있어요!