AMC 10 · 2002 · #12

학년 8 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

rateunit-conversionlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

버드 씨는 매일 같은 거리를 운전해 출근한다. 시속 40마일로 가면 3분 늦고, 시속 60마일로 가면 3분 이르게 도착한다. 정확히 제시간에 도착하려면 시속 몇 마일로 운전해야 하는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

40과 60을 평균 내어 50을 얻으려는 것이 함정이다 — 속력과 시간은 그렇게 단순히 평균이 나지 않는다. 두 여정에서 변하지 않는 단 하나는 거리다. 도구 #4(변수 도입하기)로 제시간 여정의 시간을 t(시간 단위)라 하면, 늦는 여정은 t+1/20시간, 이른 여정은 t-1/20시간이 걸린다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 3분을 시간으로 바꿔 시속과 맞추게 한다. 두 여정이 같은 거리를 공유하므로, 그 거리를 두 가지로 쓰고 서로 같다고 놓으면(도구 #13, 대수로 바꾸기) t에 대한 방정식 하나가 나온다. t를 풀고, 거리를 되찾은 뒤, 거리를 제시간 시간으로 나누면 필요한 속력이 나온다.

1STEP 1

제시간 시간을 정하고 두 거리 쓰기

제시간 도착에 걸리는 시간을 $t$ 시간이라 하자. $3$ 분 $=\frac{1}{20}$ 시간이므로 늦는 여정은 $t+\frac{1}{20}$ , 이른 여정은 $t-\frac{1}{20}$ 시간이다.

3분=1/20시간, d=40(t+1/20), d=60(t-1/20)

2STEP 2

두 거리를 같다고 놓기

두 식이 같은 거리이므로 $40\left(t+\frac{1}{20}\right)=60\left(t-\frac{1}{20}\right)$ , 전개하면 $40t+2=60t-3$ 이다.

40(t+1/20)=60(t-1/20) → 40t+2=60t-3

3STEP 3

제시간 시간 구하기

$t$ 항과 숫자를 양쪽으로 모으면 $5=20t$ , 즉 $t=\frac{1}{4}$ 시간, 곧 $15$ 분이다.

40t+2=60t-3 → 5=20t → t=1/4시간

4STEP 4

거리를 구하고 제시간 속력 구하기

$d=40\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\right)=12$ 마일이고, 이를 $\frac{1}{4}$ 시간으로 나누면 시속 $48$ 마일, 곧 보기 (B)이다.

d=40(1/4+1/20)=12마일, 속력=12/1/4=48시속 → (B)

정답

답 48은 40과 60 사이에 놓이는데, 반드시 그래야 한다 — 제시간 속력은 너무 느린 여정보다 빠르고 너무 빠른 여정보다 느려야 한다. 그 값이 중간값 50보다 약간 아래인 것도 이치에 맞는다: 같은 시간 여유가 높은 속력 쪽에서는 더 적은 속력을 사는 셈이라, 제시간 속력은 느린 쪽으로 기운다. 보기 (C) 50은 40과 60을 그냥 평균 낸 사람을 위한 함정이다. 그 평균은 같은 시간 차이가 속력을 고르게 나누지 않는다는 점을 무시한다. 되짚어 넣으면 48마일 속력으로 12마일은 12/48=1/4시간 =15분이 걸려 제시간 시간과 정확히 일치하므로 확인된다.

💡핵심 정리

같은 거리를 서로 다른 속력으로 달릴 때는, 변하지 않는 것 — 거리 — 을 붙잡아 그것으로 두 여정을 하나의 방정식으로 묶어라.

제시간 시간을 정하고 두 거리 쓰기
두 거리를 같다고 놓기
제시간 시간 구하기
거리를 구하고 제시간 속력 구하기

제시간 시간을 정하고 두 거리 쓰기

두 거리를 같다고 놓기

제시간 시간 구하기

거리를 구하고 제시간 속력 구하기

비슷한 유형 더 풀어보기