AMC 10 · 2004 · #17

학년 7 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

rateratio-proportion physical-representationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Brenda와 Sally는 원형 트랙에서 지름의 양 끝, 즉 정반대 지점에서 출발하여 서로 반대 방향으로 달립니다. 두 사람은 Brenda가 $100$ 미터를 달린 뒤 처음 만납니다. 그다음, Sally가 첫 만남 지점에서 $150$ 미터를 더 달린 뒤 두 번째로 만납니다. 두 사람 모두 일정한 속력으로 달립니다. 트랙의 길이는 몇 미터입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

250

(B)

300

(C)

350

(D)

400

(E)

500

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 사람이 원형 트랙의 정반대 지점에서 출발해 서로 반대 방향으로 일정한 속력으로 달린다. 첫 번째와 두 번째로 만날 때까지 각자 달린 거리가 주어졌을 때, 트랙의 길이를 구한다.

주어진 것: Brenda와 Sally는 원형 트랙에서 지름의 양 끝, 즉 정반대 지점에서 출발한다.; 둘은 서로 반대 방향으로, 각자 일정한 속력으로 달린다.; 처음 만날 때 Brenda는 100미터를 달린 상태이다.; 두 번째로 만날 때 Sally는 첫 만남 지점에서 150미터를 더 달린 상태이다.

구하는 것: 트랙의 길이(미터).

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #4 변수 도입하기

원을 그리면 문장 문제가 더할 수 있는 거리들로 바뀐다. 두 사람이 만날 때까지 함께 달린 거리를 파악하면, 속력이 일정하다는 조건 덕분에 복잡한 대수 대신 간단한 비례로 두 구간을 비교할 수 있다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.RP.A.3 단계 1

첫 만남까지 함께 달린 거리

원을 그리고 두 출발점을 반 바퀴 떨어진 양 끝에 놓는다.
두 사람이 서로를 향해 달리므로, 처음 만날 때 Brenda가 달린 거리와 Sally가 달린 거리를 합하면 그 사이의 간격, 즉 트랙의 절반이 정확히 채워진다.

$$\text{Brenda} + \text{Sally} = \frac{L}{2}$$

💡 간격을 함께 좁히는 두 사람은 그 사이의 간격 전체를 합쳐서 채운다.

#1 그림 그리기 7.RP.A.2 단계 2

만남과 만남 사이에 함께 달린 거리

첫 만남 이후에도 계속 달려 다시 만난다.
원형 트랙에서 한 번 더 만난다는 것은 둘이 합쳐서 정확히 한 바퀴를 더 달렸다는 뜻이다.
따라서 두 만남 사이에서 Brenda가 달린 거리와 Sally가 달린 거리를 합하면 트랙의 전체 길이가 된다.

\text{Brenda} + \text{Sally} = L \ \text{(두 만남 사이)}

💡 원형 트랙에서 다시 만날 때마다 두 사람은 합쳐서 한 바퀴를 더 달린 것이다.

#8 단위 살펴보기 7.RP.A.2 단계 3

두 번째 구간은 첫 구간의 두 배

첫 만남까지 둘은 합쳐서 반 바퀴를 달렸지만, 두 만남 사이에서는 한 바퀴, 즉 두 배를 달렸다.
두 사람 모두 속력이 변하지 않으므로 두 번째 구간은 단순히 시간이 두 배 걸린 것이고, 따라서 각자 첫 구간에서 달린 거리의 정확히 두 배를 달렸다.

\tfrac{1}{2}L \rightarrow L \ \Rightarrow\ \text{각자의 거리} \times 2

💡 일정한 속력에서는 시간이 두 배면 거리도 두 배이다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 4

두 번째 구간의 거리 더하기

Brenda는 첫 구간에서 100미터를 달렸으므로 두 만남 사이에서는 200미터를 달렸다.
Sally는 두 만남 사이에서 150미터를 달렸는데, 이는 문제에서 주어진 값이다.
이 두 거리를 합하면 한 바퀴가 되므로, 트랙은 200 + 150 = 350미터이다.
답은 (C)이다.

$$L = 2 \times 100 + 150 = 350$$

💡 두 만남 사이의 한 바퀴는 두 번째 구간의 두 거리를 더한 것일 뿐이다.

[1] #1 6.RP.A.3 원을 그리고 두 출발점을 반 바퀴 떨어진 양 끝에 놓는다. 두 사람이 서로를 향해 달리므로, 처음 만날 때 Brenda가 달린 거리와 Sally

[2] #1 7.RP.A.2 첫 만남 이후에도 계속 달려 다시 만난다. 원형 트랙에서 한 번 더 만난다는 것은 둘이 합쳐서 정확히 한 바퀴를 더 달렸다는 뜻이다. 따라서 두

[3] #8 7.RP.A.2 첫 만남까지 둘은 합쳐서 반 바퀴를 달렸지만, 두 만남 사이에서는 한 바퀴, 즉 두 배를 달렸다. 두 사람 모두 속력이 변하지 않으므로 두 번째

[4] #4 7.RP.A.3 Brenda는 첫 구간에서 100미터를 달렸으므로 두 만남 사이에서는 200미터를 달렸다. Sally는 두 만남 사이에서 150미터를 달렸는데,

검토

합리성 확인: 속력의 비가 일정하게 유지되는지 확인한다. 첫 구간에서 Brenda는 100미터, Sally는 175 - 100 = 75미터를 달려 비가 4:3이다. 두 번째 구간에서 Brenda는 200미터, Sally는 150미터를 달려 역시 4:3이다. 두 구간에서 비가 일치하고 350이 보기 중 하나이므로 결과가 앞뒤가 맞는다.

대안 접근: 두 배 지름길 대신 속력의 비를 직접 사용할 수도 있다. 트랙 길이를 L이라 하자. 첫 만남에서 Brenda:Sally = 100:(L/2 - 100)이고, 두 만남 사이에서는 (L - 150):150이다. 이 둘을 같게 놓고 정리하면 L^2/2 = 175L이 되어 L = 350을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (처음 만날 때까지 두 사람이 함께 반 바퀴 간격을 좁힌다는 것을 파악하는 데 사용.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계 인식하고 나타내기 (속력이 일정하므로 거리가 시간에 비례한다는 점, 즉 시간이 두 배면 거리도 두 배임을 사용.)
7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 여러 단계의 비 문제 해결하기 (만남 정보를 연결해 각 주자의 두 번째 구간 거리를 구하고 이를 더해 트랙 길이를 얻는 데 사용.)

⭐ 원형 트랙에서 두 주자는 처음 만날 때까지 함께 반 바퀴를, 그 뒤로는 만날 때마다 함께 한 바퀴를 달린다.