AMC 10 · 2002 · #12

학년 8 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

rateunit-conversionlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

얼 E. 버드 씨는 매일 아침 오전 $8$ 시에 일어나 출근한다. 시속 $40$ 마일의 평균 속력으로 운전하면 $3$ 분 늦고, 시속 $60$ 마일의 평균 속력으로 운전하면 $3$ 분 일찍 도착한다. 정확히 제시간에 도착하려면 버드 씨는 시속 몇 마일로 운전해야 하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 버드 씨는 매일 같은 거리를 운전해 출근한다. 시속 $40$마일로 가면 $3$분 늦고, 시속 $60$마일로 가면 $3$분 이르게 도착한다. 정확히 제시간에 도착하려면 시속 몇 마일로 운전해야 하는지 구하여라.

주어진 것: 집에서 회사까지의 거리는 어느 경우에나 같다; 시속 $40$마일로 가면 $3$분 늦는다; 시속 $60$마일로 가면 $3$분 이르다; 보기: (A) $45$, (B) $48$, (C) $50$, (D) $55$, (E) $58$ (시속 마일)

구하는 것: 정확히 제시간에 도착하게 하는 속력(시속 마일)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기

$40$과 $60$을 평균 내어 $50$을 얻으려는 것이 함정이다 — 속력과 시간은 그렇게 단순히 평균이 나지 않는다. 두 여정에서 변하지 않는 단 하나는 거리다. 도구 #4(변수 도입하기)로 제시간 여정의 시간을 $t$(시간 단위)라 하면, 늦는 여정은 $t+\tfrac{1}{20}$시간, 이른 여정은 $t-\tfrac{1}{20}$시간이 걸린다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 $3$분을 시간으로 바꿔 시속과 맞추게 한다. 두 여정이 같은 거리를 공유하므로, 그 거리를 두 가지로 쓰고 서로 같다고 놓으면(도구 #13, 대수로 바꾸기) $t$에 대한 방정식 하나가 나온다. $t$를 풀고, 거리를 되찾은 뒤, 거리를 제시간 시간으로 나누면 필요한 속력이 나온다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

제시간 시간을 정하고 두 거리 쓰기

정확히 제시간에 도착하려면 걸려야 하는 시간을 $t$시간이라 하자.
먼저 $3$분을 시속과 같은 단위로 바꾼다: $3$분 $=\tfrac{3}{60}=\tfrac{1}{20}$시간.
시속 $40$마일로 가면 $3$분 늦으므로 그 느린 여정은 $t+\tfrac{1}{20}$시간이 걸리고 $40\left(t+\tfrac{1}{20}\right)$마일을 간다.
시속 $60$마일로 가면 $3$분 이르므로 그 빠른 여정은 $t-\tfrac{1}{20}$시간이 걸리고 $60\left(t-\tfrac{1}{20}\right)$마일을 간다.

$$3\text{분}=\tfrac{1}{20}\text{시간}, \qquad d=40\left(t+\tfrac{1}{20}\right), \qquad d=60\left(t-\tfrac{1}{20}\right)$$

💡 출근길은 길어지지도 짧아지지도 않고 시계만 달라지므로, 두 여정은 똑같은 하나의 거리를 이동해야 한다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 2

두 거리를 같다고 놓기

두 식이 모두 같은 거리 $d$이므로 서로 같다: $40\left(t+\tfrac{1}{20}\right)=60\left(t-\tfrac{1}{20}\right)$.
양변을 전개한다.
좌변은 $40t+40\cdot\tfrac{1}{20}=40t+2$, 우변은 $60t-60\cdot\tfrac{1}{20}=60t-3$.
따라서 $40t+2=60t-3$이다.

$$40\left(t+\tfrac{1}{20}\right)=60\left(t-\tfrac{1}{20}\right) \;\Rightarrow\; 40t+2=60t-3$$

💡 같은 거리를 부르는 두 이름을 나란히 놓으면, 문장 문제가 깔끔한 방정식 하나로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 3

제시간 시간 구하기

$t$ 항은 한쪽에, 숫자는 다른 쪽에 모은다.
$40t+2=60t-3$에서 양변에 $40t$를 빼면 $2=20t-3$, 여기에 $3$을 더하면 $5=20t$.
$20$으로 나누면 $t=\tfrac{5}{20}=\tfrac{1}{4}$시간, 즉 $15$분이다.

$$40t+2=60t-3 \;\Rightarrow\; 5=20t \;\Rightarrow\; t=\tfrac{1}{4}\text{시간}$$

💡 변수를 한쪽으로, 순수한 숫자를 다른 쪽으로 밀면 미지의 시간이 한 번에 풀린다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

거리를 구하고 제시간 속력 구하기

$t=\tfrac{1}{4}$을 두 거리 식 중 하나에 넣는다: $d=40\left(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{20}\right)=40\cdot\tfrac{6}{20}=12$마일.
(다른 식으로 확인: $60\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{20}\right)=60\cdot\tfrac{4}{20}=12$마일 — 같다.) 정확히 제시간에 도착하려면 $12$마일을 $\tfrac{1}{4}$시간에 가야 하므로, 속력은 거리 $\div$ 시간 $=12\div\tfrac{1}{4}=48$마일이다.
이것이 보기 (B)이다.

$$d=40\left(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{20}\right)=12\text{마일}, \qquad \text{속력}=\dfrac{12}{\tfrac{1}{4}}=48\text{시속} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 제시간 여정이 얼마나 멀고 얼마나 오래 걸리는지 알면, 속력은 그 거리를 시간에 고르게 펼친 값일 뿐이다.

[1] #4 6.RP.A.3 정확히 제시간에 도착하려면 걸려야 하는 시간을 $t$시간이라 하자. 먼저 $3$분을 시속과 같은 단위로 바꾼다: $3$분 $=\tfrac{3}{

[2] #13 8.EE.C.7 두 식이 모두 같은 거리 $d$이므로 서로 같다: $40\left(t+\tfrac{1}{20}\right)=60\left(t-\tfrac{1}{

[3] #4 8.EE.C.7 $t$ 항은 한쪽에, 숫자는 다른 쪽에 모은다. $40t+2=60t-3$에서 양변에 $40t$를 빼면 $2=20t-3$, 여기에 $3$을 더하면

[4] #8 6.RP.A.3 $t=\tfrac{1}{4}$을 두 거리 식 중 하나에 넣는다: $d=40\left(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{20}\right)

검토

합리성 확인: 답 $48$은 $40$과 $60$ 사이에 놓이는데, 반드시 그래야 한다 — 제시간 속력은 너무 느린 여정보다 빠르고 너무 빠른 여정보다 느려야 한다. 그 값이 중간값 $50$보다 약간 아래인 것도 이치에 맞는다: 같은 시간 여유가 높은 속력 쪽에서는 더 적은 속력을 사는 셈이라, 제시간 속력은 느린 쪽으로 기운다. 보기 (C) $50$은 $40$과 $60$을 그냥 평균 낸 사람을 위한 함정이다. 그 평균은 같은 시간 차이가 속력을 고르게 나누지 않는다는 점을 무시한다. 되짚어 넣으면 $48$마일 속력으로 $12$마일은 $\tfrac{12}{48}=\tfrac14$시간 $=15$분이 걸려 제시간 시간과 정확히 일치하므로 확인된다.

대안 접근: 양쪽 모두 같은 $3$분씩 어긋나므로, 제시간 속력은 두 속력의 조화평균이다: $\dfrac{2\cdot 40\cdot 60}{40+60}=\dfrac{4800}{100}=48$시속으로 역시 보기 (B)이다. 이 지름길은 이르고 늦는 차이가 같을 때만 통하지만, 거리나 시간을 구하지 않고도 답에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.RP.A.3 Solve real-world problems using ratio and rate reasoning (거리 $=$ 속력 $\times$ 시간을 사용하고, $3$분을 $\tfrac{1}{20}$시간으로 바꾸며, $12$마일을 $\tfrac14$시간으로 나눠 제시간 속력을 구하는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (두 거리 식을 같다고 놓고 $40t+2=60t-3$(양변에 변수)을 풀어 $t=\tfrac14$시간을 구하는 데 사용.)

⭐ 같은 거리를 서로 다른 속력으로 달릴 때는, 변하지 않는 것 — 거리 — 을 붙잡아 그것으로 두 여정을 하나의 방정식으로 묶어라.