AMC 10 · 2002 · #17

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

fraction-arithmeticratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

사라는 $8$ 온스짜리 컵에 커피 $4$ 온스를 담고, 같은 크기의 두 번째 컵에 크림 $4$ 온스를 담는다. 그런 다음 첫 번째 컵의 커피 절반을 두 번째 컵에 붓고, 충분히 저은 뒤 두 번째 컵에 든 액체의 절반을 다시 첫 번째 컵에 붓는다. 이제 첫 번째 컵에 든 액체 중 크림이 차지하는 비율은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac13$

(C)

$\frac38$

(D)

$\frac25$

(E)

$\frac12$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 컵에 커피 $4$ 온스가, 같은 크기의 다른 컵에 크림 $4$ 온스가 들어 있다. 커피의 절반을 크림 컵에 부어 섞은 뒤, 섞인 컵의 절반을 다시 되붓는다. 이제 첫 번째 컵의 액체 중 크림이 차지하는 분수를 구하시오.

주어진 것: 컵 1 은 커피 $4$ 온스로, 컵 2 는 크림 $4$ 온스로 시작한다; 두 컵은 모두 같은 $8$ 온스 크기이다; 첫 번째 붓기: 컵 1 의 커피 절반을 컵 2 로 옮긴다; 컵 2 를 충분히 저어 균일한 혼합물이 된다; 두 번째 붓기: 이제 컵 2 에 든 액체의 절반을 컵 1 로 되붓는다; 선택지: (A) $\frac14$, (B) $\frac13$, (C) $\frac38$, (D) $\frac25$, (E) $\frac12$

구하는 것: 두 번의 붓기 후 컵 1 의 액체 중 크림이 차지하는 분수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #4 변수 도입하기

과정에 붓기가 두 번 있으므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 은 이를 한 번에 하나씩 다루고 각 컵에 커피와 크림이 각각 몇 온스 있는지 계속 세어 두라고 한다. 도구 #8 (단위 살펴보기) 은 그 셈을 정직하게 유지한다: 모든 수는 온스 단위의 양이고, 최종 답은 (컵 1 의 크림 온스) 를 (컵 1 의 전체 온스) 로 나눈 값이다. 두 번째 붓기를 쉽게 만드는 하나의 열쇠는, 저은 컵은 균일하므로 그 절반을 되부으면 커피의 절반과 크림의 절반이 정확히 함께 되돌아온다는 것이다 — 비율이 그대로 보존된다. 도구 #4 (변수 도입하기) 는 가볍게만 쓰인다: 미지의 문자 대신 커피와 크림이라는 두 구체적인 양을 단계마다 추적한다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 5.NF.B.4 단계 1

커피의 절반을 옮기기

컵 1 에는 커피 $4$ 온스가 있다.
그 절반은 $\frac12 \times 4 = 2$ 온스이고, 이것이 컵 2 로 옮겨간다.
컵 1 에는 커피 $2$ 온스가 남는다 (크림은 없다).
컵 2 는 크림 $4$ 온스로 시작했고 이제 커피 $2$ 온스도 들어왔으므로, 컵 2 는 커피 $2$ 온스와 크림 $4$ 온스, 모두 $6$ 온스를 담는다.

$$\text{컵 1: } 2\text{ oz 커피} \qquad \text{컵 2: } 2\text{ oz 커피} + 4\text{ oz 크림} = 6\text{ oz}$$

💡 $4$ 온스의 절반은 그냥 $2$ 온스이고, 그 커피는 다른 컵에 이미 있던 크림에 합쳐질 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 2

컵 2 를 고정된 혼합물로 보기

저으면 컵 2 는 균일해진다: $6$ 온스가 커피 $2$ 온스 대 크림 $4$ 온스, 즉 커피 대 크림의 비율이 $2:4 = 1:2$ 이다.
그래서 이 혼합물 $1$ 온스마다 $\frac13$ 은 커피, $\frac23$ 은 크림이다.
이 비율은 어떤 부분을 떠내도 똑같으며, 바로 그 점이 다음 붓기를 쉽게 나눌 수 있게 한다.

$$\text{커피}:\text{크림} = 2:4 = 1:2 \quad\Rightarrow\quad \tfrac13 \text{ 커피},\ \tfrac23 \text{ 크림 (어느 부분이든)}$$

💡 잘 저은 음료는 어느 한 모금이나 맛이 같으므로, 그 어떤 부분도 커피와 크림이 같은 $1:2$ 비율로 섞여 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 3

컵 2 의 절반을 되붓기

컵 2 의 액체 절반은 $\frac12 \times 6 = 3$ 온스이고, 이것을 컵 1 로 되붓는다.
컵 2 가 $1:2$ 커피 대 크림 혼합물이므로 그 $3$ 온스도 같은 방식으로 나뉜다: $\frac13 \times 3 = 1$ 온스의 커피와 $\frac23 \times 3 = 2$ 온스의 크림이다.
이것을 (커피 $2$ 온스가 있던) 컵 1 에 더하면 컵 1 은 커피 $2 + 1 = 3$ 온스와 크림 $0 + 2 = 2$ 온스가 된다.

$$\tfrac12(6)=3\text{ oz 되붓기} = \underbrace{1}_{\text{커피}} + \underbrace{2}_{\text{크림}} \;\Rightarrow\; \text{컵 1: } 3\text{ oz 커피} + 2\text{ oz 크림}$$

💡 컵이 균일하므로 그 절반을 되부으면 커피의 절반과 크림의 절반이 되돌아오고, 그래서 $3$ 온스가 $1$ 과 $2$ 로 갈린다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

크림 분수 구하기

컵 1 은 이제 커피 $3$ 온스와 크림 $2$ 온스, 모두 $5$ 온스를 담는다.
크림이 차지하는 분수는 크림의 양을 전체로 나눈 값이다: $\frac{2}{5}$.
이는 선택지 (D) 와 일치한다.

$$\dfrac{\text{크림}}{\text{전체}} = \dfrac{2}{2+3} = \dfrac{2}{5} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 한 컵의 분수는 관심 있는 부분 (크림) 을 컵 안의 전부로 나눈 것일 뿐이다.

[1] #8 5.NF.B.4 컵 1 에는 커피 $4$ 온스가 있다. 그 절반은 $\frac12 \times 4 = 2$ 온스이고, 이것이 컵 2 로 옮겨간다. 컵 1 에는

[2] #7 6.RP.A.1 저으면 컵 2 는 균일해진다: $6$ 온스가 커피 $2$ 온스 대 크림 $4$ 온스, 즉 커피 대 크림의 비율이 $2:4 = 1:2$ 이다. 그

[3] #7 6.RP.A.3 컵 2 의 액체 절반은 $\frac12 \times 6 = 3$ 온스이고, 이것을 컵 1 로 되붓는다. 컵 2 가 $1:2$ 커피 대 크림 혼합

[4] #8 6.RP.A.3 컵 1 은 이제 커피 $3$ 온스와 크림 $2$ 온스, 모두 $5$ 온스를 담는다. 크림이 차지하는 분수는 크림의 양을 전체로 나눈 값이다: $

검토

합리성 확인: 크림이 보존되는지 확인하자. 처음에 크림은 $4$ 온스였고, 두 번째 붓기가 그중 $2$ 온스를 컵 1 로 보냈으며 컵 2 에는 $2$ 온스가 남았다 — 합쳐서 여전히 $4$ 온스이므로 크림이 새로 생기거나 사라지지 않았다. 크기 점검도 맞는다: 컵 1 은 액체 $5$ 온스로 끝났고 처음에는 크림이 전혀 없었으므로 크림 분수는 $\frac12$ 보다 작아야 한다; $\frac25$ 는 절반보다 살짝 작아 합당하다. 함정 답 $\frac12$ 은 컵 1 이 되붓는 과정에서 커피도 $1$ 온스 얻어 전체가 $4$ 가 아니라 $5$ 가 된다는 것을 잊을 때 나온다.

대안 접근: 붓기별로 따라가는 대신 보존으로 따라간다 (도구 #16, 관점 바꾸기). 모든 것이 끝나면 커피는 두 개의 $5$ 온스 컵을 통틀어 $4$ 온스로, 크림도 $4$ 온스로 보존된다. 컵 1 에 크림이 $2$ 온스 있으므로 컵 2 에 나머지 $2$ 온스가 있어야 한다. 그러면 컵 1 의 크림 분수는 $\frac{2}{5}$ — 각 붓기의 양을 다시 구하지 않고도 같은 답 (D) 이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (커피 $4$ 온스의 절반 ($\frac12\times4=2$) 과 컵 $6$ 온스의 절반 ($\frac12\times6=3$) 을 구한다.)
6.RP.A.1 Understand the concept of a ratio and use ratio language (저은 컵 2 를 어느 부분이나 균일한 고정된 $1:2$ 커피 대 크림 혼합물로 설명한다.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (되붓는 $3$ 온스를 커피 $1$ 온스와 크림 $2$ 온스로 나누고, 컵 1 의 크림을 $\frac{2}{5}$ 로 보고한다.)

⭐ 커피와 크림의 온스를 계속 세어라: 저은 컵은 균일하므로 그 절반을 되부으면 각각의 절반이 되돌아오고, 컵 1 에는 $5$ 온스 중 크림 $2$ 온스가 남아 $\frac25$ 이 된다.