AMC 10 · 2002 · #21

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

rateratio-proportion dimensional-analysis ↑ 선수 지식: rateratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 친구가 같은 시각에 각자 자기 잔디밭을 깎기 시작한다. 앤디의 잔디밭은 베스의 두 배이고 카를로스의 세 배이다. 카를로스의 잔디깎이는 베스의 절반 속도로, 앤디의 3분의 1 속도로 깎는다. 누가 가장 먼저 다 깎는지 정하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \text{Andy}$

(B)

$\ \text{Beth}$

(C)

$\ \text{Carlos}$

(D)

$\ \text{Andy\ and \ Carlos\ tie\ for\ first.}$

(E)

$\ \text{All\ three\ tie.}$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 단위 살펴보기

이 문제는 사실 비율(rate) 문제를 숨기고 있다. 도구 #8(단위 살펴보기)이 모든 것을 결정하는 하나의 관계를 준다: 깎는 속도는 단위 시간당 깎는 넓이이므로, 다 깎는 데 걸리는 시간 = 잔디밭 넓이 ÷ 깎는 속도. 잔디밭이 클수록 시간이 더 걸리고, 잔디깎이가 빠를수록 시간이 덜 걸린다. 비만 주어졌으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 모든 비를 지키는 편리한 대리값을 정한다 — 앤디의 넓이를 2와 3의 공배수로, 카를로스의 속도를 기준 1로 잡는다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 각자의 '언제 끝나나?'를 나눗셈 한 번으로 바꾸고, 세 몫을 비교하면 승자가 나온다. 답이 원래 크기가 아니라 비에만 달려 있으므로 수를 골라 쓰는 것이 여기서는 정당하다.

1STEP 1

넓이 비를 수로 바꾸기

비만 주어졌으니 앤디의 넓이를 6으로 잡으면, 절반인 베스는 6 ÷ 2 = 3, 3분의 1인 카를로스는 6 ÷ 3 = 2이다.

넓이: A = 6, B = 3, C = 2

2STEP 2

속도 비를 수로 바꾸기

가장 느린 카를로스의 속도를 1로 두면, 두 배 빠른 베스는 2, 세 배 빠른 앤디는 3이다.

속도: A = 3, B = 2, C = 1

3STEP 3

각자의 걸린 시간 계산하기

시간 = 넓이 ÷ 속도이므로 앤디는 6 ÷ 3 = 2, 베스는 3 ÷ 2 = 1.5, 카를로스는 2 ÷ 1 = 2이다.

t_A = 6/3 = 2, t_B = 3/2 = 1.5, t_C = 2/1 = 2

4STEP 4

시간 비교하기

시간이 가장 적은 사람이 1등: 1.5의 베스가 먼저 끝내고, 2인 앤디와 카를로스는 공동 2등이다. 답은 (B).

1.5 ＜ 2 → 베스가 1등 (B)

정답

베스

승자는 고른 수에 따라 달라지면 안 되므로, 비를 유지하는 다른 수 집합으로 시험한다. 앤디의 넓이를 12로 하면 베스는 6, 카를로스는 4. 카를로스의 속도를 2로 하면 베스는 4, 앤디는 6. 시간은 t_A = 12 ÷ 6 = 2, t_B = 6 ÷ 4 = 1.5, t_C = 4 ÷ 2 = 2. 같은 시간 세 값이 나오고 베스가 다시 1등이므로, 어떤 정당한 배율에도 선택지 (B)가 흔들리지 않음을 확인한다.

💡핵심 정리

어떤 일이 일정한 속도로 일어날 때, 시간은 일의 양을 속도로 나눈 값이다 — 그래서 충분히 빠른 도구로 하는 작은 일이 큰 일을 언제나 이길 수 있다.

넓이 비를 수로 바꾸기
속도 비를 수로 바꾸기
각자의 걸린 시간 계산하기
시간 비교하기

넓이 비를 수로 바꾸기

속도 비를 수로 바꾸기

각자의 걸린 시간 계산하기

시간 비교하기

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