AMC 10 · 2004 · #14

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

fraction-arithmeticratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

주머니에 빨간 구슬과 파란 구슬만 들어 있고, 파란 구슬이 빨간 구슬보다 많습니다. 먼저 파란 구슬이 주머니의

\frac{1}{3}

이 될 때까지 빨간 구슬을 더합니다. 다음으로 파란 구슬이 주머니의

\frac{1}{5}

이 될 때까지 노란 구슬을 더합니다. 마지막으로 파란 구슬의 개수를 두 배로 늘립니다. 끝난 뒤 파란 구슬이 전체의 몇 분의 몇인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{5}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{2}{5}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

마지막 동작은 파란 구슬을 두 배로 늘리는 것이므로, 답을 결정하는 유일한 장면은 그 직전의 주머니입니다: 파란 구슬이 그 주머니의 1/5입니다. 그 전의 모든 것 — 1/3 단계, 처음 개수 — 은 최종 분수에 전혀 영향을 주지 않는 미끼이며, 그래서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 그것들을 버릴 수 있습니다. 결정적 한 수는 도구 #16(관점 바꾸기): 파란 구슬 개수를 쫓지 말고 파랗지 않은 구슬을 보는 것인데, 파란 구슬을 두 배로 늘려도 그것들은 그대로이기 때문입니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 1/5을 구체적인 개수로 바꿔 두 배 늘리기를 쉽게 따라가게 해 줍니다.

1STEP 1

마지막 장면만 남기기

두 배 늘리기 직전 주머니만 중요합니다. 그때 파란 구슬은 전체의 $\frac{1}{5}$ 이고, 앞의 $\frac{1}{3}$ 단계는 무시해도 됩니다.

두 배 직전: 파란 구슬 = 1/5 (주머니 전체)

2STEP 2

주머니를 똑같은 5조각으로 나누기

주머니를 각 $b$ 개씩인 똑같은 5 조각으로 봅니다: 파란 구슬 $b$ 개, 파랗지 않은 구슬 $4b$ 개, 전체 $5b$ 개.

파란 구슬=b, 파랗지 않은 구슬=4b, 전체=5b

3STEP 3

파란 구슬만 두 배, 나머지는 그대로

두 배로 늘리면 파란 구슬은 $2b$ 개, 파랗지 않은 $4b$ 개는 그대로여서 새 전체는 $6b$ 개입니다.

파란 구슬=2b, 파랗지 않은 구슬=4b, 전체=2b+4b=6b

4STEP 4

파란 구슬의 분수 다시 세기

이제 전체 $6b$ 개 중 파란 구슬이 $2b$ 개이므로 파란 구슬의 몫은 $\frac{2b}{6b}=\frac{1}{3}$ , 답은 (C)입니다.

(파란 구슬)/전체=2b/6b=1/3 (C)

정답

1/3

b=10

으로 실제 수를 넣어 봅니다: 파란 구슬 10 개, 파랗지 않은 구슬 40 개, 전체 50 개이고, 실제로

\frac{10}{50}=\frac{1}{5}

이 파랑입니다. 두 배로 늘리면 파란 구슬 20 개, 파랗지 않은 구슬은 여전히 40 개, 전체 60 개이고

\frac{20}{60}=

\frac{1}{3}

— 선택지 (C)입니다. 함정에 주의하세요:

\frac{1}{5}

을 두 배로 늘려도

\frac{2}{5}

(선택지 (D))가 되지 않는데, 전체도 함께 늘기 때문입니다. 파란 구슬의 몫은

\frac{1}{5}

에서

\frac{1}{3}

로 조금 올라가는데, 이는 두 배로 늘린 뒤에도 파란 구슬이 여전히 소수라는 사실과 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

파란 구슬을 두 배로 늘려도 그 분수가 두 배가 되지는 않습니다 — 파랗지 않은 더미가 그대로 있어서, 5 조각 중 파랑 1 조각이 6 조각 중 2 조각이 되고, 이는 $\frac{1}{3}$ 입니다.

마지막 장면만 남기기
주머니를 똑같은 5조각으로 나누기
파란 구슬만 두 배, 나머지는 그대로
파란 구슬의 분수 다시 세기

마지막 장면만 남기기

주머니를 똑같은 5조각으로 나누기

파란 구슬만 두 배, 나머지는 그대로

파란 구슬의 분수 다시 세기

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