AMC 10 · 2004 · #14
학년 6 rate-ratio한 주머니에 처음에는 빨간 구슬과 파란 구슬만 들어 있고, 파란 구슬이 빨간 구슬보다 많습니다. 주머니 속 구슬의 31 만 파란색이 될 때까지 빨간 구슬을 넣습니다. 그다음, 주머니 속 구슬의 51 만 파란색이 될 때까지 노란 구슬을 넣습니다. 마지막으로, 주머니 속 파란 구슬의 개수를 두 배로 늘립니다. 이제 주머니 속 구슬 중 파란 구슬은 몇 분의 몇입니까?
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 주머니에 빨간 구슬과 파란 구슬이 들어 있고, 파란 구슬이 빨간 구슬보다 많습니다. 먼저 파란 구슬이 주머니의 $\frac{1}{3}$ 이 될 때까지 빨간 구슬을 더합니다. 다음으로 파란 구슬이 주머니의 $\frac{1}{5}$ 이 될 때까지 노란 구슬을 더합니다. 마지막으로 파란 구슬의 개수를 두 배로 늘립니다. 끝난 뒤 파란 구슬이 전체의 몇 분의 몇인지 구하세요.
주어진 것: 주머니에는 처음에 빨간 구슬과 파란 구슬만 있고, 파란 구슬이 빨간 구슬보다 많습니다.; 파란 구슬이 주머니의 $\frac{1}{3}$ 이 될 때까지 빨간 구슬을 더합니다.; 그 다음 파란 구슬이 주머니의 $\frac{1}{5}$ 이 될 때까지 노란 구슬을 더합니다.; 마지막으로 파란 구슬의 개수를 두 배로 늘립니다.; 선택지: (A) $\frac{1}{5}$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{1}{3}$, (D) $\frac{2}{5}$, (E) $\frac{1}{2}$.
구하는 것: 파란 구슬을 두 배로 늘린 뒤, 전체 구슬 중 파란 구슬이 차지하는 분수.
이해
문제 재정리: 주머니에 빨간 구슬과 파란 구슬이 들어 있고, 파란 구슬이 빨간 구슬보다 많습니다. 먼저 파란 구슬이 주머니의 $\frac{1}{3}$ 이 될 때까지 빨간 구슬을 더합니다. 다음으로 파란 구슬이 주머니의 $\frac{1}{5}$ 이 될 때까지 노란 구슬을 더합니다. 마지막으로 파란 구슬의 개수를 두 배로 늘립니다. 끝난 뒤 파란 구슬이 전체의 몇 분의 몇인지 구하세요.
주어진 것: 주머니에는 처음에 빨간 구슬과 파란 구슬만 있고, 파란 구슬이 빨간 구슬보다 많습니다.; 파란 구슬이 주머니의 $\frac{1}{3}$ 이 될 때까지 빨간 구슬을 더합니다.; 그 다음 파란 구슬이 주머니의 $\frac{1}{5}$ 이 될 때까지 노란 구슬을 더합니다.; 마지막으로 파란 구슬의 개수를 두 배로 늘립니다.; 선택지: (A) $\frac{1}{5}$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{1}{3}$, (D) $\frac{2}{5}$, (E) $\frac{1}{2}$.
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #4 변수 도입하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
마지막 동작은 파란 구슬을 두 배로 늘리는 것이므로, 답을 결정하는 유일한 장면은 그 직전의 주머니입니다: 파란 구슬이 그 주머니의 $\frac{1}{5}$ 입니다. 그 전의 모든 것 — $\frac{1}{3}$ 단계, 처음 개수 — 은 최종 분수에 전혀 영향을 주지 않는 미끼이며, 그래서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 그것들을 버릴 수 있습니다. 결정적 한 수는 도구 #16(관점 바꾸기): 파란 구슬 개수를 쫓지 말고 파랗지 않은 구슬을 보는 것인데, 파란 구슬을 두 배로 늘려도 그것들은 그대로이기 때문입니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 $\frac{1}{5}$ 을 구체적인 개수로 바꿔 두 배 늘리기를 쉽게 따라가게 해 줍니다.
실행 — 정답: C
6.RP.A.3 단계 1 마지막 장면만 남기기
- 마지막 동작은 파란 구슬을 두 배로 늘리는 것이므로, 답은 그 두 배 늘리기 바로 직전의 주머니 상태에만 달려 있습니다.
- 그 순간 파란 구슬은 주머니의 $\frac{1}{5}$ 입니다.
- 파란 구슬이 $\frac{1}{3}$ 이었던 앞 단계는 도중의 개수를 맞추는 데만 쓰였을 뿐, 두 배 늘린 뒤의 분수를 바꾸지 않으므로 무시해도 됩니다.
💡 마지막 동작 바로 직전 상태만 결과에 영향을 줄 수 있으므로 나머지는 잡음입니다.
6.RP.A.1 단계 2 주머니를 똑같은 5조각으로 나누기
- 파란 구슬이 전체의 $\frac{1}{5}$ 이므로 주머니를 똑같은 $5$ 조각으로 그려 봅니다: $1$ 조각은 파란 구슬, $4$ 조각은 파랗지 않은 구슬.
- 각 조각에 구슬이 $b$ 개 있다고 하면 파란 구슬은 $b$ 개, 파랗지 않은 구슬은 $4b$ 개, 전체는 $5b$ 개입니다.
💡 $\frac{1}{5}$ 을 $5$ 조각 중 $1$ 조각으로 바꾸면 파란 구슬과 나머지의 비가 구체적으로 보입니다.
3.OA.C.7 단계 3 파란 구슬만 두 배, 나머지는 그대로
- 파란 구슬을 두 배로 늘리면 $b$ 가 $2b$ 가 됩니다.
- 파란 구슬을 더하는 것은 파랗지 않은 구슬에는 아무 영향이 없으므로 그것들은 $4b$ 그대로입니다.
- 새 전체는 $2b+4b=6b$ 입니다.
💡 파랗지 않은 더미는 고정된 기준점이라 파란 구슬과 전체는 바뀌어도 그것은 그대로입니다.
6.RP.A.3 단계 4 파란 구슬의 분수 다시 세기
- 이제 주머니에는 전체 $6b$ 개 중 파란 구슬이 $2b$ 개 있으므로, 파란 구슬이 차지하는 분수는 $\frac{2b}{6b}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ 입니다.
- 답은 (C)입니다.
💡 파랗지 않은 조각이 고정된 채, $5$ 조각 중 파란 $1$ 조각이 $6$ 조각 중 $2$ 조각이 됩니다.
6.RP.A.3 마지막 동작은 파란 구슬을 두 배로 늘리는 것이므로, 답은 그 두 배 늘리기 바로 직전의 주머니 상태에만 달려 있습니다. 그 순간 파란 구슬은 6.RP.A.1 파란 구슬이 전체의 $\frac{1}{5}$ 이므로 주머니를 똑같은 $5$ 조각으로 그려 봅니다: $1$ 조각은 파란 구슬, $4$ 조각은 파랗 3.OA.C.7 파란 구슬을 두 배로 늘리면 $b$ 가 $2b$ 가 됩니다. 파란 구슬을 더하는 것은 파랗지 않은 구슬에는 아무 영향이 없으므로 그것들은 $4b 6.RP.A.3 이제 주머니에는 전체 $6b$ 개 중 파란 구슬이 $2b$ 개 있으므로, 파란 구슬이 차지하는 분수는 $\frac{2b}{6b}=\frac{2} 검토
합리성 확인: $b=10$ 으로 실제 수를 넣어 봅니다: 파란 구슬 $10$ 개, 파랗지 않은 구슬 $40$ 개, 전체 $50$ 개이고, 실제로 $\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$ 이 파랑입니다. 두 배로 늘리면 파란 구슬 $20$ 개, 파랗지 않은 구슬은 여전히 $40$ 개, 전체 $60$ 개이고 $\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ — 선택지 (C)입니다. 함정에 주의하세요: $\frac{1}{5}$ 을 두 배로 늘려도 $\frac{2}{5}$ (선택지 (D))가 되지 않는데, 전체도 함께 늘기 때문입니다. 파란 구슬의 몫은 $\frac{1}{5}$ 에서 $\frac{1}{3}$ 로 조금 올라가는데, 이는 두 배로 늘린 뒤에도 파란 구슬이 여전히 소수라는 사실과 잘 맞습니다.
대안 접근: 무시한 단계들이 정말 상관없는지 이야기 전체를 수로 확인합니다. 파란 구슬 $2$ 개, 빨간 구슬 $1$ 개로 시작합니다(파랑이 빨강보다 많음). 파랑이 $\frac{1}{3}$ 이 될 때까지 빨강을 더하면 전체가 $6$ 이어야 하므로 빨강 $3$ 개를 더해 파랑 $2$ 개, 빨강 $4$ 개가 됩니다. 파랑이 $\frac{1}{5}$ 이 될 때까지 노랑을 더하면 전체가 $10$ 이어야 하므로 노랑 $4$ 개를 더해 전체 $10$ 개 중 파랑 $2$ 개가 됩니다. 파랑을 두 배로 늘리면 전체 $12$ 개 중 파랑 $4$ 개이고 $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ — 같은 답 (C)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3비와 비율 추론을 사용하여 실생활 및 수학 문제를 푼다 ($\frac{1}{5}$ 파랑 장면만이 답을 결정함을 알아차리고, 최종 파랑 분수 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ 을 계산하는 데 사용.)6.RP.A.1비의 개념을 이해하고 비 언어를 사용한다 ($\frac{1}{5}$ 파랑을 파랑 $1$ 조각 대 파랗지 않은 $4$ 조각의 부분-전체 분할로 읽고 $b$, $4b$, $5b$ 를 정하는 데 사용.)3.OA.C.7100 이내에서 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 한다 (파랑 개수를 $b$ 에서 $2b$ 로 두 배로 늘리고 더해서 새 전체 $6b$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ 파란 구슬을 두 배로 늘려도 그 분수가 두 배가 되지는 않습니다 — 파랗지 않은 더미가 그대로 있어서, $5$ 조각 중 파랑 $1$ 조각이 $6$ 조각 중 $2$ 조각이 되고, 이는 $\frac{1}{3}$ 입니다.
⭐ 파란 구슬을 두 배로 늘려도 그 분수가 두 배가 되지는 않습니다 — 파랗지 않은 더미가 그대로 있어서, $5$ 조각 중 파랑 $1$ 조각이 $6$ 조각 중 $2$ 조각이 되고, 이는 $\frac{1}{3}$ 입니다.
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