AMC 10 · 2005 · #1

학년 6 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagefraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

외식을 하면서 Mike와 Joe는 각자 종업원에게 $ $2$ 의 팁을 냈다. Mike는 자기 계산서의 $10\%$ 를 팁으로, Joe는 자기 계산서의 $20\%$ 를 팁으로 냈다. 두 사람의 계산서 금액 차이는 몇 달러인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마이크와 조는 각각 $\$2$ 의 팁을 냈습니다. 마이크의 팁은 자기 계산서의 $10\%$, 조의 팁은 자기 계산서의 $20\%$ 였습니다. 두 사람의 계산서 금액 차이를 구하세요.

주어진 것: 두 팁의 크기는 같다: 각각 $\$2$; 마이크의 $\$2$ 팁은 마이크 계산서의 $10\%$ 이다; 조의 $\$2$ 팁은 조 계산서의 $20\%$ 이다; 보기: (A) $2$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $10$, (E) $20$

구하는 것: 마이크의 계산서 금액; 조의 계산서 금액; 두 계산서의 차이

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

"$\$2$ 팁이 계산서의 몇 퍼센트다" 라는 문장은 사실 쓰기만 기다리는 한 단계짜리 방정식입니다. 도구 #4 로 두 계산서를 변수로 이름 붙이면 두 문장이 $0.10M = 2$, $0.20J = 2$ 로 바뀌고, 각각을 계산서에 대해 푸는 것은 나눗셈 한 번입니다. 도구 #8 은 달러와 퍼센트 계산을 정확히 지켜 줍니다: $10\%$ 는 $0.10$ 이므로 $\$2$ 를 $0.10$ 으로 나누면 달러 단위의 계산서가 나와야 하죠. 두 계산서를 알고 나면 답은 뺄셈 한 번입니다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 1

두 미지수에 이름을 붙입니다.
마이크의 계산서를 $M$, 조의 계산서를 $J$ 라 하고 둘 다 달러 단위로 둡시다.
각 팁 문장을 방정식으로 바꿉니다: 계산서의 몇 퍼센트가 $\$2$ 팁과 같다.

$$0.10\,M = 2 \qquad 0.20\,J = 2$$

💡 "계산서의 $10\%$ 가 $\$2$ 다" 는 $0.10 \times \text{계산서} = 2$ 를 기호로 쓴 것뿐이에요.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

마이크의 방정식을 풉니다.
양변을 $0.10$ 으로 나눠 곱셈을 되돌립니다.
$\$2$ 를 $0.10$ 으로 나누는 것은 "$\$2$ 가 어떤 수의 십분의 일인가?" 를 묻는 것과 같습니다.

$$M = \dfrac{2}{0.10} = 20$$

💡 $\$2$ 가 계산서의 십분의 일밖에 안 된다면, 계산서 전체는 그 열 배인 $\$20$ 입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 3

조의 방정식도 같은 방법으로 $0.20$ 으로 나눠 풉니다.
여기서 $\$2$ 는 계산서의 오분의 일이므로 계산서는 $\$2$ 의 다섯 배입니다.

$$J = \dfrac{2}{0.20} = 10$$

💡 더 큰 퍼센트($20\%$)로 같은 $\$2$ 에 도달한다는 건 계산서가 더 작다는 뜻이에요 — 마이크의 절반이죠.

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.4 단계 4

문제가 요구하는 차이를 얻기 위해 두 계산서를 뺍니다.

$$M - J = 20 - 10 = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 마이크는 $\$20$, 조는 $\$10$ 을 냈으니 마이크의 계산서가 $\$10$ 더 컸습니다.

[1] #4 6.EE.B.7 두 미지수에 이름을 붙입니다. 마이크의 계산서를 $M$, 조의 계산서를 $J$ 라 하고 둘 다 달러 단위로 둡시다. 각 팁 문장을 방정식으로 바

[2] #8 6.RP.A.3 마이크의 방정식을 풉니다. 양변을 $0.10$ 으로 나눠 곱셈을 되돌립니다. $\$2$ 를 $0.10$ 으로 나누는 것은 "$\$2$ 가 어떤

[3] #8 6.RP.A.3 조의 방정식도 같은 방법으로 $0.20$ 으로 나눠 풉니다. 여기서 $\$2$ 는 계산서의 오분의 일이므로 계산서는 $\$2$ 의 다섯 배입니다

[4] #8 4.NBT.B.4 문제가 요구하는 차이를 얻기 위해 두 계산서를 뺍니다.

검토

합리성 확인: 구한 계산서로 팁을 되짚어 봅니다: $\$20$ 의 $10\%$ 는 $\$2$, $\$10$ 의 $20\%$ 는 $\$2$ 로 이야기와 정확히 맞습니다. 팁이 같으므로 $10\%$ 계산서는 $20\%$ 계산서의 두 배가 되어야 하고, 따라서 마이크 쪽이 더 커야 합니다 — 그리고 $\$20 - \$10 = \$10$ 은 보기 (D)에 딱 떨어집니다. 함정 오답 $\$20$ (E)는 차이가 아니라 마이크의 계산서 하나입니다.

대안 접근: 도구 #11(거꾸로 풀기)로 대수 없이 풀 수도 있어요: 계산서의 $10\%$ 인 $\$2$ 팁은 계산서가 $\$2$ 조각 열 개, 즉 $\$20$ 이라는 뜻이고, $20\%$ 인 $\$2$ 팁은 $\$2$ 조각 다섯 개, 즉 $\$10$ 입니다. 차이는 $\$10$. 퍼센트의 뜻에서 곧바로 나오는 같은 답입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.7 px = q 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결하기 (각 팁 문장을 한 단계 방정식 $0.10M = 2$, $0.20J = 2$ 로 옮기고 계산서에 대해 푸는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (퍼센트를 비율로 읽어 알려진 부분에서 전체 계산서를 되찾는 데 사용: $\$2$ 팁을 $0.10$ 과 $0.20$ 으로 나누기.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 하기 (두 계산서 $20 - 10$ 을 빼서 요구된 차이를 구하는 데 사용.)

⭐ 같은 팁이 한 계산서에서 더 작은 퍼센트라면 그 계산서가 더 큰 쪽이에요 — 팁을 퍼센트로 나눠 각 계산서 전체를 되살린 뒤 빼면 됩니다.

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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