AMC 10 · 2002 · #19
학년 7 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
닿는 영역이 이상한 모양이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 쉽게 구할 수 있는 부채꼴 조각들로 나눈다. 도구 #1(그림 그리기)은 각을 확정해 준다. 묶인 꼭짓점에서는 개집이 회전의 일부를 막고, 줄은 두 이웃 꼭짓점을 돌아 나갈 수 있다. 도구 #17(공간 상상하기)은 줄이 꼭짓점을 돌고 난 뒤 얼마나 남는지, 그리고 얼마나 더 돌 수 있는지를 따라간다. 부채꼴들을 더해 전체를 구한다.
묶인 꼭짓점에서 줄 돌리기
묶인 꼭짓점에서 개집이 내각 120°를 차지하니, 줄은 남은 240°를 2야드 온전한 길이로 쓸어낸다.
벽이 120° 모서리를 차지하므로 줄은 남은 240°를 자유롭게 쓸어낸다.
4.MD.C.7Draw A Diagram큰 부채꼴의 넓이
반지름 2인 원 전체는 4π이고 240°는 그 2/3이므로, 주된 조각은 8π/3이다.
원 넓이의 일부를 구하는 것은 그 분수에 π r²를 곱하는 것일 뿐이다.
원 넓이의 몫을 취하는 것은 그 몫에 파이와 반지름의 제곱을 곱하는 것일 뿐이다.
▸ 왜?
부채꼴은 그 각이 원에서 차지하는 몫이므로, 각이 그 몫을 곧바로 알려 준다.
▸ 왜?
원 전체의 넓이는 파이 곱하기 반지름의 제곱이므로, 그 몫에는 더 할 일이 없다.
이웃 꼭짓점마다 줄이 감김
한 변을 따라 1야드를 쓰고 남은 1야드가 그 꼭짓점을 60° 돌아 나가며, 반대쪽 꼭짓점도 똑같다.
꼭짓점을 지나면 줄이 짧아지고 다음 벽이 막기 전까지 작은 쐐기만 열린다.
4.MD.C.7Visualize Spatial Relationships두 작은 부채꼴의 넓이
각 조각은 단위원의 1/6이라 π/6씩이고, 두 개를 합치면 π/3이다.
단위원의 60° 조각 두 개는 합쳐서 120° 조각, 곧 원의 1/3이 된다.
7.G.B.4Identify Subproblems모든 조각 더하기
조각들이 겹치지 않으니 8π/3 + π/3 = 3π가 개가 닿는 전체 넓이, 곧 (E)이다.
영역들이 겹치지 않으므로 닿는 전체 넓이는 그 넓이들을 그냥 더한 것이다.
7.G.B.6Identify Subproblems줄이 한 변보다 길어서 꼭짓점을 감아 돌 때는, 줄이 덮는 공간을 원 조각들로 쪼개라 — 묶인 곳의 큰 조각에 줄이 감기는 작은 조각들을 더하면 된다.
- 묶인 꼭짓점에서 줄 돌리기
- 큰 부채꼴의 넓이
- 이웃 꼭짓점마다 줄이 감김
- 두 작은 부채꼴의 넓이
- 모든 조각 더하기
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