AMC 10 · 2002 · #5

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlestangent-circles area-difference ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 3인 원과 반지름이 2인 원이 나란히 붙어 서로 맞닿아 있고, 두 원이 모두 더 큰 원 안에 딱 맞게 들어가 그 큰 원과도 맞닿아 있습니다. 큰 원 안이면서 두 작은 원 바깥인 부분의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\pi$

(B)

$4\pi$

(C)

$6\pi$

(D)

$9\pi$

(E)

$12\pi$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 그림 속 한 가지 사실에서 풀립니다. 두 작은 원의 중심을 지나는 가로선이 사실은 큰 원의 지름이라는 점입니다. 그래서 도구 #1 (그림 그리기)로 그 선 위의 길이를 바로 읽어 큰 원의 크기를 알아냅니다. 큰 원의 반지름을 알고 나면, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 색칠된 넓이를 세 개의 쉬운 원 넓이 계산으로 나누어 뺄셈으로 합칩니다 — 큰 원에서 두 작은 원을 뺍니다.

1STEP 1

선에서 큰 원의 지름 읽기

두 작은 원의 중심을 지나는 선이 큰 원을 끝에서 끝까지 가로지르므로, 지름은 3+3+2+2=10입니다.

지름 = 2(3)+2(2)=10

2STEP 2

큰 원의 반지름 구하기

반지름은 지름의 절반이므로, 큰 원의 반지름은 10÷2=5입니다.

R = 10/2=5

3STEP 3

큰 원의 넓이

원의 넓이 공식 π r²에 r=5를 넣으면 큰 원의 넓이는 π · 5² = 25π입니다.

π R² = π(5)² = 25π

4STEP 4

두 작은 원의 넓이

각 작은 원도 같은 공식으로: π(3)²=9π, π(2)²=4π이므로 합하면 13π입니다.

π(3)²+π(2)² = 9π+4π = 13π

5STEP 5

빼서 색칠된 넓이 구하기

덮인 부분을 덜어내면 25π-13π=(25-13)π=12π, 즉 선택지 (E)입니다.

25π-13π=(25-13)π=12π → (E)

정답

12π

큰 원(25π)이 두 작은 원을 합친 것(13π)보다 훨씬 크므로, 색칠된 부분이 12π — 큰 원의 절반보다 조금 작은 값 — 인 것은 큰 원에서 두 조각을 베어낸 결과로 자연스럽습니다. 더 작은 선택지들을 빠르게 점검하면, 3π나 4π는 작은 원들이 큰 원을 거의 다 덮는다는 뜻이 되어 그림과 분명히 어긋납니다. 반드시 맞아야 하는 핵심은 지름입니다. R=5를 지름으로 잘못 쓰거나 반지름을 두 배 하는 것을 잊으면 답 전체가 어긋납니다.

💡핵심 정리

두 원을 변끼리 맞대어 늘어놓으면 그 폭들이 큰 원의 지름이 되고, 색칠된 부분은 큰 원의 넓이에서 두 작은 원을 뺀 것입니다.

선에서 큰 원의 지름 읽기
큰 원의 반지름 구하기
큰 원의 넓이
두 작은 원의 넓이
빼서 색칠된 넓이 구하기

선에서 큰 원의 지름 읽기

큰 원의 반지름 구하기

큰 원의 넓이

두 작은 원의 넓이

빼서 색칠된 넓이 구하기

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